साधारण विस्तार के मध्यवर्ती क्षेत्र $\mathbb{C}(x)$

Question

चलो $\mathbb{C}(x)$ पर तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र हो $\mathbb{C}$। बेशक$\mathbb{C}(x)$ का क्षेत्र विस्तार है $\mathbb{C}$। मेरा सवाल अब यह है: क्या कोई मध्यवर्ती क्षेत्र हैं?$\mathbb{C}$ तथा $\mathbb{C}(x)$? यदि हां, तो हम उनके आयाम के बारे में क्या कह सकते हैं? क्या यह हमेशा अनंत है?

Answer 1

टिप्पणियों का एक सारांश (पुनर्मिलन को छोड़कर परिणाम है कि उन्हें अलग से पोस्ट करना चाहिए!) नीचे $K$ एक मनमाने ढंग से इंटरमीडिया क्षेत्र के बीच में सख्ती से खड़ा होता है, $\Bbb{C}\subset K\subset\Bbb{C}(x)$।

1. इसलिये $\Bbb{C}$बीजीय रूप से बंद है, इसमें कोई अल्गबेरिक एक्सटेंशन नहीं है। इसलिए कोई परिमित एक्सटेंशन नहीं। इसलिए$[K:\Bbb{C}]=\infty$।
2. दूसरी ओर, यदि $u=f(x)/g(x)$ का एक मनमाना तत्व है $K\setminus\Bbb{C}$, $f,g\in\Bbb{C}[x]$, तब फिर $x$ बहुपद का एक शून्य है $$ P(T):=f(T)-g(T)u\in K[T]. $$ इसलिए $x$ बीजीय पर है $K$। इसलिये$[K(x):K]<\infty$। परंतु,$K(x)=\Bbb{C}(x)$, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं $[\Bbb{C}(x):K]<\infty$। अधिक कुछ नहीं कहा जा सकता है, जैसा कि हम आसानी से देखते हैं$[\Bbb{C}(x):\Bbb{C}(x^n)]=n$ हर सकारात्मक पूर्णांक के लिए $n$, इसलिए विस्तार की डिग्री मनमाने ढंग से उच्च हो सकती है।
3. ल्यूरोथ के प्रमेय द्वारा प्रत्येक मध्यवर्ती क्षेत्र$K$ वास्तव में एक सरल पारलौकिक विस्तार है $\Bbb{C}$। दूसरे शब्दों में,$K$ है $\Bbb{C}$-विशेषकर को $\Bbb{C}(x)$।