सकारात्मक दिया $x,y$ ऐसा है कि $x > y$ तथा $\sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) = x+y $, न्यूनतम खोजें $(x+y)$

Question

मुझे पॉजिटिव नंबर दिए गए हैं $x, y$ ऐसा है कि $x > y$ तथा $\sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) = x+y $। मुझे इसका न्यूनतम मूल्य खोजने की आवश्यकता है$(x+y)$। यहाँ मेरी कोशिश है। गैर-संख्या के लिए एएम-जीएम असमानता का उपयोग करना, मेरे पास है

$$ \frac{(x+y)}{2} \geqslant \sqrt{x} \sqrt{y} $$

$$ \sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) \geqslant 2 \sqrt{x} \sqrt{y} \\ \therefore (x-y) \geqslant 2 $$

इसलिए, मैं इस निष्कर्ष पर पहुंचने में सक्षम हूं। लेकिन मैं यहां फंस गया हूं। कोई मदद ?

धन्यवाद

Answer 1

एएम-जीएम द्वारा $$(x+y)^2=xy(x-y)^2=\frac{1}{4}\cdot4xy(x-y)^2\leq\frac{1}{4}\left(\frac{4xy+(x-y)^2}{2}\right)^2=\frac{(x+y)^4}{16},$$ जो देता है $$x+y\geq4.$$ समानता के लिए होता है $(x-y)\sqrt{xy}=x+y$ तथा $4xy=(x-y)^2,$ जो देता है $$(x,y)=(2+\sqrt2,2-\sqrt2),$$ जो कहता है कि हमें न्यूनतम मूल्य मिला है।

Answer 2

डाल $x=r^2{cos}^2a$ तथा $y=r^2{sin}^2a$ चलो भी $a$ के संबंधित $[0,\frac{\pi}{2}]$

इस प्रकार हमें अधिकतम मूल्य ज्ञात करना होगा $r^2$

दिए गए समीकरण में मानों को जोड़ना और हमारे पास मूल ट्रिग सूत्र का उपयोग करके सरलीकरण करना $r^4(cosa)(sina)(cos2a)=r^2$ या

$ r^2=\frac{4}{sin(4a)} \ge 4$

Answer 3

संकेत: डाल दिया $x=\alpha \cosh^2(x)$ तथा $y=\alpha\sinh^2(x)$ यह स्थिति बन जाती है:

$$\alpha=\tanh(x)+\frac{1}{\tanh(x)}$$

अभिव्यक्ति है:

$$x+y=\Big(\tanh(x)+\frac{1}{\tanh(x)}\Big)\frac{1+\tanh^2(x)}{1-\tanh^2(x)}$$

इसे हल करके हमने पाया $x+y\geq 4$।

Answer 4

संकेत।

निर्माण

$$ \cases{ u = x+y\\ v = x-y } $$

हमारे पास है

$$ \sqrt{u^2-v^2}=2\frac uv $$

इसलिए

$$ u^2 = \frac{v^4}{v^2-4} $$

आदि।

Answer 5

दिया हुआ $\sqrt{xy}\left(x-y\right)=x+y$

लश्कर $yx=c$ , कहाँ पे $c>0$।

$$\sqrt{c}\left(x^{2}-c\right)=x^{2}+c$$ $$x^{2}-\frac{\left(c+1+2\sqrt{c}\right)}{\left(c-1\right)}c=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -[1]$$

एक फंक्शन करते हैं $$F(x,c)=x^{2}-\frac{\left(c+1+2\sqrt{c}\right)}{\left(c-1\right)}c$$परिभाषित किया जा सकता है। फिर$$\frac{\partial F(x,c)}{\partial c}=0$$ एक स्थिर पर $x$ हमें देता है $c \approx 2.618 \implies x \approx 3.33 $ (का उपयोग कर $[1]$) है। इसलिए,$$x+\frac{c}{x}\geqslant 4$$ $$min(x+y)=4$$

कब $x=2+\sqrt{2} \text{ and } y=2-\sqrt2$ जैसा बताया गया है।