सममित बहुपद का विघटन करें $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3^2}$ प्राथमिक सममित बहुपद में।
मैं जिस विधि का उपयोग करने का प्रयास कर रहा हूं, उसमें या तो शामिल है (जब सभी घातांक समान नहीं हैं, उदाहरण के लिए $\Sigma{x_1x_2^2}$) बार-बार उच्चतम संभव समान घातांक (इसलिए असमान प्रतिपादक उदाहरण के लिए) के साथ मोनोमियल को निकालना $(\Sigma{x_1})(\Sigma{x_1x_2})$) या समन के बाहर के घातांक को ले जाने पर जब सभी घातांक समान होते हैं, जैसे कि प्रश्न शीर्षक में, यानी मैं जिसके बारे में पूछ रहा हूं, इसलिए यहां पहला कदम है $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3^2}$ = = $(\Sigma{x_1x_2x_3})^2$। जाहिर है कि यह है$E_3^2$2 के बीच आम तौर पर कितने चर हैं, इस आधार पर, उन शब्दों के साथ, जिन्हें घटाया जाना चाहिए $E_3$में है $E_3^2$: 0, 1, या 2. यदि कोई भी सामान्य नहीं है, तो आप दोनों में से किसी का भी उपयोग कर सकते हैं $E_3$कुल 6 अनिश्चितताओं में से 3 का चुनाव निर्धारित करना है, इसलिए यह शब्द है $2E_6$। मेरी सोच थी, अगर 1 अनिश्चितता आम है, तो आपको एक अभिव्यक्ति मिलती है जिसे और नीचे तोड़ने की आवश्यकता होती है, अर्थात$\Sigma{x_1^2x_2x_3}$, कि से गुणा किया जाएगा $E_2$। इसी तरह, यदि 2 अनिश्चितताएं सामान्य हैं, तो आपको एक अभिव्यक्ति मिलती है, जिसे आगे तोड़ने की आवश्यकता है, अर्थात$\Sigma{x_1^2x_2^2x_3}$, कि से गुणा किया जाएगा $E_1$। इस प्रकार इसे हल करने का मेरा प्रयास शायद पुस्तक के उत्तर की ओर जा रहा है, जो कि है$E_3^2 + 2E_1E_5 - 2E_2E_4 -2E_6$। लेकिन आगे विघटित होने में मेरा अगला कदम है$\Sigma{x_1^2x_2x_3}$ तथा $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3}$ बहुत अधिक जटिल शब्दों के साथ, बिना किसी रद्दीकरण के जिसे मैं सिर्फ़ शब्दों को शामिल करने के सरल सेट तक ले जाने के लिए देख सकता था $E_1E_5$, $E_2E_4$, तथा $E_6$ घटाना $E_3^2$। इसके अलावा, पुस्तक को जोड़ रहा है$E_1E_5$टर्म बैक, यह सुझाव देते हुए कि मेरे द्वारा गलत किए जा रहे डिकम्पोजिशन का एक क्रम है, शायद रद्द करना शामिल है। क्या कोई दिखा सकता है कि मैं कहाँ गलत हो रहा हूँ?
जवाब
आपकी त्रुटि की कुंजी प्रत्येक सेट है $E_6$ केवल दो बार ही नहीं आता है, यह वास्तव में ऊपर आता है ${6 \choose 3} = 20$समय। दूसरी ओर, एक दिया$\sum x_1^2x_2x_3x_4x_5$ वास्तव में हैं ${4 \choose 2} = 6$ एक ही अभिव्यक्ति स्थापित करने के तरीके, जबकि $\sum x_1^2x_2^2x_3x_4$स्थापित करने के लिए केवल दो तरीके हैं। इसके अलावा, बनाए गए नए मोनोमियल आपके उदाहरणों के समान सरल नहीं हैं, जिन्हें देखना आसान है क्योंकि संपूर्ण अभिव्यक्ति 6 डिग्री होनी चाहिए।
समझाने के लिए, एक मोनोमियल दिया $abcdef$ में है $E_6$, आप इस मोनोमियल को बना सकते हैं $abc \cdot def$, $abd \cdot cef$, आदि 6 कार्यों में से 3 तत्वों को चुनने के सभी तरीके। दिया हुआ$abcde^2$ में है $E_5E_1$, आप के माध्यम से मोनोमियल बना सकते हैं $abe \cdot cde$, $ace \cdot bde$, आदि 4 कार्यों में से 2 तत्वों को चुनने के सभी तरीके। इस सटीक प्रक्रिया का उपयोग नीचे की गणना में गुणांक निर्धारित करने के लिए किया जाता है।
चूंकि यह गणना इतनी त्रुटिपूर्ण है, इसलिए मैं शुरू से अंत तक पूरी गणना करूंगा, फिर आप इन चरणों के खिलाफ अपने परिणामों की जांच कर सकते हैं।
संकेतन: $S_n = E_n, P_{a, b, c, ...} = \sum \limits_{\text{sym}} x_1^ax_2^bx_3^c...$, कहां है $S_n$ प्राथमिक सममित बहुपद के लिए एक वैकल्पिक संकेतन है और $P_{a,b,c...}$ मुइरहेड-प्रकार संक्षिप्त नाम है।
$P_{2,2,2} = S_3^2 -2P_{2,2,1,1} - 6P_{2,1,1,1,1} - 20S_6$ (परिणाम 1)
$P_{2,2,1,1} = S_2S_4-4P_{2,1,1,1,1}-15S_6$ (परिणाम 2)
$P_{2,1,1,1,1} = S_1S_5-6S_6$ (परिणाम 3)
$P_{2,2,2} = S_3^2 -2S_2S_4 + 2P_{2,1,1,1,1} +10S_6$ (परिणाम 1 और 2 का उपयोग करके -> परिणाम 4)
$P_{2,2,2} = S_3^2 -2S_2S_4 + 2S_1S_5 - 2S_6$ (परिणाम 4 और 3 का उपयोग कर -> उत्तर)
और हम कर रहे हैं। यह सब सावधान काम और गणना है, पागल कुछ भी नहीं।