सममित प्रणालियों का उत्पाद मजबूर करना
मजबूरन धारणा वाले परिवार को देखते हुए $(P_i)_{i\in I}$ हम उत्पाद ले सकते हैं $P:=\prod_{i\in I}P_i$ प्रपत्र की एक सामान्य फ़िल्टर बनाने के लिए एक मजबूर धारणा के रूप में $G=(G_i)_{i\in I}$ प्रत्येक के लिए ऐसा है $i\in I$ प्रक्षेपण $G_i$ जब मजबूर करने के लिए बनाया सामान्य फिल्टर से मेल खाती है $P_i$। इसे उत्पाद मजबूरन कहा जाता है और हमें एक साथ कई विभिन्न प्रकार की सामान्य वस्तुओं को स्थगित करने की अनुमति देता है। (विषय की अधिक विस्तृत चर्चा के लिए देखें उत्पाद मजबूर और सामान्य वस्तुएं )
अब मेरा सवाल यह है कि क्या और कैसे उत्पाद मजबूरन को सममित बल के साथ जोड़ा जा सकता है। मान लें कि हमारे पास उपरोक्त समूहों और समूहों के परिवार के रूप में धारणाओं का एक परिवार है$(\mathcal{G}_i)_{i\in I}$ साथ ही साथ $(\mathcal{F}_i)_{i\in I}$ ऐसा है कि $\mathcal{G}_i$ का उपसमूह है $Aut(P_i)$ तथा $\mathcal{F}_i$ पर एक सामान्य फिल्टर है $\mathcal{G}_i$ सबके लिए $i\in I$। क्या हम सिर्फ परिभाषित कर सकते हैं$P$ जैसा कि ऊपर है $\mathcal{G}:=\prod_{i\in I}\mathcal{G}_i$ अभिनय कर रहे $P$ घटक और $\mathcal{F}\simeq\prod_{i\in I}\mathcal{F}_i$ पर एक सामान्य फिल्टर के रूप में $\mathcal{G}$ ?
उदाहरण के लिए कोहेन के मूल सममिति मॉडल पर विचार करें $ZF+\neg AC$ जहाँ वह कई सामान्य वास्तविक स्थितियों से जुड़ता है और फिर एक अनंत उपसमुच्चय का निर्माण करता है $A\subset \mathbb{R}$बिना किसी अनंत अनंत उपसमुच्चय के। फिर ऊपर वर्णित निर्माण हमें स्थगित करने की अनुमति देनी चाहिए$I$ ऐसे कई सेट $(A_i)_{i\in I}$ तुरंत।
क्या इस प्रकार के निर्माण (यानी सममित उत्पाद बल) के साथ कोई जटिलताएं हो सकती हैं? क्या विषय पर कोई साहित्य है?
जवाब
हां, साहित्य में बहुत कुछ है। हालांकि "अमूर्त ढांचे" के तरीकों में बहुत कम है। यह एक ऐसी चीज है जो अनिवार्य रूप से जबरदस्ती के शुरुआती दिनों से की जाती थी, और आप इसके बारे में शुरुआती कागजात में देख सकते हैं।
मेरे कामों में
कारगिला, आसफ , इटरेटिंग सिमेट्रिक एक्सटेंशन , जे। सिम्ब। लॉग करें। 84, नंबर 1, 123-159 (2019)। ZBL1448.03038 ।
करागिला, आसफ , द मॉरिस मॉडल , प्रोक। हूँ। मठ। सोक। 148, नंबर 3, 1311-1323 (2020)। ZBL07159661 ।
आप एक अधिक सामान्य उपचार पा सकते हैं। उत्पाद एक पुनरावृत्ति का एक विशेष मामला है, और पहला पेपर उस मामले से संबंधित है जहां समर्थन परिमित है। एक उत्पाद के मामले में, हालांकि, हम मनमाने ढंग से समर्थन करने के लिए पुनरावृत्तियों को सामान्य बनाने में कुछ कठिनाइयों के साथ दूर कर सकते हैं, और कुछ काम दूसरे पेपर में किए जाते हैं।
इसके अलावा, आप कई स्थानों पर "हाथ से" परिभाषित उत्पादों को देख सकते हैं, यह देखना आसान है कि परिभाषा किसी भी प्रकार के सममित प्रणालियों के लिए रखती है (लेकिन उत्पाद आमतौर पर कोहेन-स्टाइल फोर्किंग के साथ उपयोग किए जाते हैं)। यहाँ कुछ हालिया उदाहरण हैं, मुख्यतः मेरे काम से जो इस विषय को काफी बार संशोधित करते हैं, और पुराने उदाहरण।
हयात, यैर; करगिला, आसफ , एकरूपता के स्पेक्ट्रा। , टिप्पणी। मठ। यूनीव। कैरल। 60, नंबर 2, 287-300 (2019)। ZBL07144894 ।
कारगिला, आसफ , कार्डिनल्स में (मैथ्सफ {{डीसी} _ {\ _ कप्पा}) , फंडाम के साथ ऑर्डरिंग। मठ। 226, नंबर 2, 143-156 (2014)। ZBL1341.03068 ।
कारगिला, ए। , फोडर का नींबु हर जगह विफल हो सकता है , एक्टा मठ। त्रिशंकु। 154, नंबर 1, 231-242 (2018)। ZBL1413.03012 ।
मोनरो, जीपी , डेडेकिंड-परिमित सेट , जे। ऑस्ट के विषय में स्वतंत्रता परिणाम । मठ। समाज।, सेर। 19, 35-46 (1975)। ZBL0298.02066 ।
रोगुसकी, स्टैनिसलाव , जोड़ीदार अतुलनीय कार्डिनल , कोलोक का एक उचित वर्ग । मठ। 58, नंबर 2, 163-166 (1990)। ZBL0706.03038 ।
इन सभी के बीच आप परिमित समर्थन, गणनीय (या $\kappa$-) का समर्थन करता है, ईस्टन का समर्थन करता है, और आप देखेंगे कि आप किसी और चीज़ की ओर छलांग लगा रहे हैं (जो अब सिर्फ अन्य तरह का मिश्रित समर्थन है, वास्तव में बस वही है)।
वास्तव में, हमारे पास अब और भी अधिक शक्ति है क्योंकि हम फिल्टर और समूहों के उत्पाद में समर्थन को बदलने के बारे में बात कर सकते हैं। आप सोचेंगे कि इसका मतलब यह है कि हम पूरी तरह से अधिक कह सकते हैं, लेकिन वास्तव में, यह आमतौर पर अप्रासंगिक है।
पुनरावृत्तियों के बारे में अपने पेपर में मैंने "तप" नामक एक अवधारणा का वर्णन किया। मेरे पीएचडी के अंत की ओर। यार ह्युट के साथ कई चर्चाओं में से एक में हमने उस अवधारणा के नीचे वास्तव में झूठ बोलने की कोशिश करने और निर्णय लेने का फैसला किया। और यह पता चला है कि प्रत्येक सममित प्रणाली एक दृढ़ अवधि के बराबर है। और इसका मतलब है कि अलग-अलग समर्थन के साथ खेलना (यानी फोर्सिंग पर ईस्टन का उपयोग करते समय फिल्टर पर सीमित समर्थन) आमतौर पर आपके द्वारा उपयोग किए जा रहे सबसे छोटे समर्थन के बराबर होता है। जरूरी नहीं कि हमेशा, लेकिन आमतौर पर।
कोहेन मॉडल के लिए, यह थोड़ा मुश्किल है। प्रत्येक जेनेरिक एक वास्तविक है, और हम न केवल उन के बारे में परवाह करते हैं, हम सभी जेनेरिक के सेट की भी परवाह करते हैं । तो यह वास्तव में एक उत्पाद नहीं है, बल्कि प्रत्येक वास्तविक को जोड़ने का एक विकल्प है, जो सभी वास्तविकताओं के सेट को जोड़कर पसंद का उल्लंघन करता है, और फिर इसकी भलाई के बिना जेनरिक के सेट को जोड़ने के लिए मजबूर करता है। यह सब एक ही विस्तार के रूप में इसके बारे में सोचने के दृष्टिकोण को बहुत सरल बनाता है।