सामान्य उपमहाद्वीपों के लिए दोआब की असमानता का एक समूह
मैं निम्नलिखित परिणाम को साबित करने की कोशिश कर रहा हूं:
चलो $(X_n)_{n \in \mathbb N_0}$एक सबमार्टिंगेल या सुपरमार्टिंगेल हो। Doob की असमानता और Doob के अपघटन का उपयोग सभी को दिखाने के लिए करें$n \in \mathbb N$ तथा $\lambda > 0$, $$ \lambda\mathbb P\left[|X|_n^* \geq \lambda\right] \leq 12\mathbb E\left[\left|X_0\right|\right] + 9\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right]. $$ कहां है $|X|_n^* = \sup\left\{|X_k| : 0 \leq k \leq n\right\}$।
Doob की असमानता का जो संस्करण हम उपयोग कर रहे हैं, वह किसी के लिए भी है $p \geq 1$, $\lambda > 0$, और मार्टिंगेल या पॉजिटिव सबमार्टिंगेल $Y$, $$ \lambda^p \mathbb P\left[|Y|_n^*\geq \lambda\right] \leq \mathbb E\left[\left|Y_n\right|^p\right]. $$ जब यह परिणाम साबित करने के लिए यह पर्याप्त है $X$एक सबमार्टिंगेल है। Doob के अपघटन का उपयोग करना$X = M+A$, $M$ एक मार्टिंगेल और $A$ के साथ एक बढ़ती हुई पूर्वानुमेय प्रक्रिया $A_0 = 0$ (तोह फिर $A$एक सकारात्मक पनडुब्बी है), वास्तव में एक मजबूत असमानता दिखा सकता है। वास्तव में, जब से$A$ सकारात्मक और बढ़ती है, $|X|_n^* \leq |M|_n^* + A_n$। और तबसे$A_0 = 0$: $$ \mathbb E\left[A_n\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[M_n\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[M_0\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[X_0\right] \leq \mathbb E\left[|X_n|\right] + \mathbb E\left[|X_0|\right] $$ जिससे यह इस प्रकार है $$ \mathbb E\left[\left|M_n\right|\right] \leq \mathbb E\left[\left|X_n\right|\right] + \mathbb E\left[A_n\right] \leq 2\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right] + \mathbb E\left[\left|X_0\right|\right]. $$ इन असमानताओं का उपयोग करते हुए, यह निम्नानुसार है \begin{align*} \lambda\mathbb P\left[|X|^*_n\geq \lambda\right] & \leq \lambda\mathbb P\left[|M|_n^*+A_n\geq\lambda\right] \\ &\leq \lambda \mathbb P\left[ |M|^*_n\geq \frac 2 3 \lambda\right] + \lambda\mathbb P\left[A_n\geq\frac 1 3 \lambda\right] \\ &\leq \frac 3 2 \mathbb E\left[\left|M_n\right|\right]+ 3\mathbb E\left[A_n\right] \\ &\leq 6\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right]+\frac 9 2 \mathbb E\left[\left|X_0\right|\right] \end{align*} मेरा सवाल दुगना है:
- क्या इस तर्क में कोई त्रुटि है, जैसे कि मेरी धारणाओं में कोई दोष या कोई अनुचित धारणा जो मैं नोटिस कर रहा हूं? और अगर नहीं,
- क्या कोई कारण है कि मैं जिस पुस्तक का उपयोग कर रहा हूं (क्लेंक की संभाव्यता सिद्धांत: एक व्यापक पाठ्यक्रम ) गुणांक का उपयोग करता है$12$ तथा $9$ बजाय $9/2$ तथा $6$? क्या घोषित परिणाम किसी भी तरह से अधिक शास्त्रीय या आसान है, जो मार्टिंगेल और डोब अपघटन के अधिक मौलिक गुणों का उपयोग कर दिखा सकता है?
इस समस्या पर भी यहां चर्चा की गई थी , लेकिन यह सूत्र वास्तव में गुणांकों की मनमानी को संबोधित नहीं करता है$12$ तथा $9$। किसी को कोई जानकारी प्रदान कर सकते हैं?
जवाब
यह केवल एक उत्तर का एक टुकड़ा है क्योंकि मैं आपके प्रमाण या तकनीकों का उपयोग नहीं करता हूं, लेकिन यह एक टिप्पणी के लिए बहुत लंबा है। मेरा अंतर्ज्ञान यह है कि गुणांक मनमाने हैं क्योंकि वे इष्टतम नहीं हैं। यहाँ एक संभावित सुधार है, जिसे मैं जीन-फ्रांस्वा ले गैल (पी .263) की किताब ब्राउनियन मोशन, मार्टिंगलेस और स्टोचस्टिक कैलकुलस से लेता हूँ।
अधिकतम असमानता यदि$(Y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ एक सुपरमार्टिंगेल तो सभी के लिए है $\lambda>0$ तथा $k\in\mathbb{N}$: $$\lambda\mathbb{P}\left[\sup_{n\leq k}\left|Y_n\right|>\lambda\right]\leq\mathbb{E}\left|Y_0\right|+2\mathbb{E}\left|Y_k\right|$$
प्रमाण (पुस्तक में नहीं)। ठीक कर$\lambda>0$ तथा $k\in\mathbb{N}$। चलो$A_k=\left\{\omega\in\Omega : \sup_{n\leq k}Y_k(\omega)> \lambda\right\}$। रोक समय को परिभाषित करें$T=\inf\left\{n\in\mathbb{N} : Y_n> \lambda\right\}$, और ध्यान दें कि $A_k=\left\{T\leq k\right\}$। जबसे$(Y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ एक सुपरमार्टिंगेल है $$\mathbb{E}Y_0\geq\mathbb{E}Y_{T\land k}\geq \lambda \mathbb{P}(A_k)+\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{A_k^c}]$$ अब छोडो $S=\inf\left\{n\in\mathbb{N} : Y_n<-\lambda\right\}$ तथा $B_k=\left\{\omega\in\Omega : \inf_{n\leq k} Y_k(\omega)<-\lambda\right\}$। हमारे पास है$$\mathbb{E}Y_k\leq\mathbb{E}Y_{S\land k}\leq -\lambda \mathbb{P}(B_k)+\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{B_k^c}]$$ दो असमानताओं को पुनर्व्यवस्थित करना और योग देना $$\lambda\mathbb{P}\left[\sup_{n\leq k}\left|Y_n\right|>\lambda\right]\leq \mathbb{E}Y_0-\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{A^c_k}]-\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{B_k}]\leq \mathbb{E}|Y_0|+2\mathbb{E}|Y_k|$$ वैसे, हमने यह भी साबित किया कि एक बेहतर ऊपरी सीमा है $\mathbb{E}Y_0 + 2\mathbb{E}Y_k^-$।