सामान्य यूक्लिड की लेम्मा को प्रधान घटक का उपयोग करके एक यूएफडी में साबित करें
मैंने इस प्रमेय के लिए बहुत सारे प्रमाण देखे हैं: एक UFD में यदि $(a,b)=1$ तथा $a|bc$ तब फिर $a|c$। वे ज्यादातर यहाँ जैसे gcd वितरण कानून का उपयोग करते हैं । वैसे मैं इसे केवल उन गुणों पर निर्भर करके साबित करना चाहता था जो UFD के पास थे।
मेरा प्रयास: चूंकि $a|bc$ फिर कुछ के लिए $r$ अपने पास $ar=bc$। अब अस्तित्व से, क्योंकि हम जानते हैं कि कोई भी गैर इकाई तत्व पसंद करता है$a$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है $t_1×....t_n$ कहां है $t_i$ अडिग हैं, हम यह कर सकते हैं:
$$p_1^{α_1}...p_n^{α_n} g_1^{ε_1}...g_m^{ε_m} =q_1^{β_1}...q_k^{β_k}h_1^{ψ_1}...h_i^{ψ_i}$$ (कहा पे $p_i$, $g_i$, $q_i$ तथा $h_i$प्राइम्स हैं।) विशिष्टता से जो सेट दाईं ओर है वह बाईं ओर भी होना चाहिए, क्या मैं सही हूं? लेकिन जबसे$(a,b)=1$ तब फिर $a$ तथा $b$प्रधान तत्वों को साझा नहीं करना चाहिए। किसी तरह यह है$A$ का सबसेट है $C$। मैं वास्तव में इसे प्रबंधित नहीं कर सकता लेकिन यह सेट सिद्धांत में एक समस्या की तरह बन रहा है।
क्या आप कृपया मुझे अपने दृष्टिकोण से मदद कर सकते हैं ??
जवाब
तुम बहुत करीब हो। आइए इस समीकरण को देखें जो आपने कहा था: '
$$ p_1^{α_1}...p_n^{α_n} g_1^{ε_1}...g_m^{ε_m} =q_1^{β_1}...q_k^{β_k}h_1^{ψ_1}...h_i^{ψ_i} $$
तदनुसार $ar=bc$। जैसा कि आपने कहा, क्योंकि हम एक यूएफडी में हैं, जो कि बहुतायत से गिने जाने वाले अपराधों का समूह है, दोनों पक्षों (इकाइयों तक) पर समान है। इसके अलावा, के रूप में$(a,b)=1$ फिर नहीं $p_i$ बांट सकते हैं $b$। एक बार फिर विशिष्टता से, इसका मतलब है कि नहीं$p_i$ बांट सकते हैं $q_j$। वास्तव में, हम आगे जा सकते हैं और कह सकते हैं कि नहीं$p_i^{\alpha_i}$ बांट सकते हैं $q_j$। इसे एक साथ रखकर, सभी$p_i^{\alpha_i}$दाहिने हाथ की ओर (इकाइयों तक) के कारक में प्रकट होना चाहिए। इसके अलावा,$p_i^{\alpha_i}$ बांट नहीं सकते $q_j$। इस प्रकार, इकाइयों तक, द$p_i^{\alpha_i}$ प्रत्येक को कुछ विभाजित करना चाहिए $h_j^{\psi_j}$। इसलिए, के सभी प्रमुख कारक$a$ गुणा भाग के साथ गिना जाता है $c$। इसलिये,$a \mid c$।
यह संख्या पर प्रेरण द्वारा एक प्राकृतिक प्रमाण है $\:\!k\:\!$ के प्रमुख कारक $\,a,\,$आगमनात्मक चरण यूक्लिड के लेम्मा के रूप में उपयोग करना (यदि कोई उत्पाद को विभाजित करता है तो यह कुछ कारक को विभाजित करता है)। अगर$\,k=0\,$ तब फिर $\,a\,$ एक इकाई है $\,a\mid c.\,$ अन्य $\,a = p\bar a\,$ एक प्रधानमंत्री के लिए $\,p\,$ तोह फिर $\,p\bar a\mid bc\,\Rightarrow\,p\mid b\,$ या $\,p\mid c,\,$ तोह फिर $\,\color{#c00}{p\mid c}\,$ द्वारा द्वारा $\,(p,b)=1\,$ द्वारा द्वारा $\,(p\bar a,b)=1$। रद्द करना$\,p\,$ से $\,p\bar a\mid bc\Rightarrow \bar a\mid b\,\color{#c00}{c/p},\,$ तथा $\,(\bar a,b)=1\,$ द्वारा द्वारा $\,(p\bar a,b)=1.\,$ नोटिस $\,\bar a\,$की तुलना में कम प्रमुख कारक हैं$\,a=p\bar a,\,$ इस प्रकार $\,\bar a\mid \color{#c00}{c/p}\underset{\textstyle\times\, p}\Rightarrow p\bar a\mid c\ $ (अर्थात $\,a\mid c),\,$ प्रेरण द्वारा।
व्यायाम करें $ $प्रूफ में नियोजित होने वाले प्राइम फैक्टर के अस्तित्व और विशिष्टता के सभी निहित उपयोगों को स्पष्ट करें (आवश्यक पूरी तरह से कठोर होने के लिए)।