समान रूप से और लॉ में पहचान के कानून के साथ तार्किक परिभाषा "लॉजिक का परिचय"
पैट्रिक मान लेता है " लॉजिक का परिचय " अध्याय 8 में औपचारिक परिभाषा के लिए नियम प्रदान करता है। नीचे दिए गए नियम समानता के साथ एक नए ऑपरेशन प्रतीक के लिए निर्दिष्ट हैं:
एक समानता $D$ एक नया एन-प्लेस ऑपरेशन प्रतीक शुरू करना $O$ एक सिद्धांत में एक उचित परिभाषा है अगर और केवल अगर $D$ फार्म का है:
$O(v_1, ..., v_n) = w \leftrightarrow S$
और निम्नलिखित प्रतिबंध संतुष्ट हैं:
(i)$v_1, ..., v_n, w$अलग-अलग चर हैं।
(ii)$S$ के अलावा कोई मुफ्त चर नहीं है $v_1, ..., v_n, w$।
(iii)$S$एक सूत्र है जिसमें केवल गैर-तार्किक स्थिरांक आदिम प्रतीक हैं और पहले सिद्धांत के परिभाषित प्रतीक हैं।
(iv) सूत्र$\exists !w[S]$ स्वयंसिद्ध से व्युत्पन्न और सिद्धांत की पूर्ववर्ती परिभाषा है।
पहचान के कानून का पूर्व उल्लेख भी है :
यदि x कुछ भी है, तो $x=x$।
अब मान लेते हैं कि आपके पास निम्नलिखित परिभाषा है:
$$ \forall f,x,y[f_x = y \iff f \text{ is a function } \land \langle x,y \rangle \in f] $$
आइए यह भी मान लें कि आपने पहले से परिभाषित कार्य किए हैं और ऐसे जोड़े का आदेश दिया है जो आपको साबित हो सकते हैं $\exists !y[S]$ सीमा के साथ, इसलिए यह नियम (iv) का अनुसरण करता है।
यहाँ समस्या है: इस नियम की सीमा के भीतर, ऐसा लगता है कि कोई भी किसी भी चर के साथ पहचान के कानून का उपयोग कर सकता है , कहते हैं$A$यह दावा करने के लिए $A_x=A_x$ और दावा करने के लिए इसका उपयोग करें $A \text{ is a function } \land \langle x,A_x \rangle \in A$, और इसलिए, कि $A$एक समारोह है, भले ही हम इसके बारे में कुछ भी नहीं जानते हैं। वह तर्क किसी भी चर के साथ इस्तेमाल किया जा सकता है, यह एक सामान्य संबंध हो, एक साधारण सेट, या यहां तक कि एक urelement हो, इसलिए यह कटौती गलत होनी चाहिए।
सबसे पहले, मैंने सोचा था कि मैं नियम (iii) को तोड़ रहा था, बयान के रूप में "$A \text{ is a function } \land \langle x,A_x \rangle \in A$"इसमें पहले से परिभाषित चिह्न नहीं है, $A_x$, जो कथन में ही परिभाषित है, इसलिए यह मान्य नहीं होगा।
हालाँकि, निम्नलिखित परिभाषा पर विचार करें: $$ \newcommand\liff{\leftrightarrow} \newcommand\lif{\rightarrow} \newcommand\lfi{\leftarrow} \newcommand\ordp[2]{\langle #1,#2 \rangle} \newcommand\mset[1]{\{ #1 \}} \newcommand\isRel[1]{#1 \text{ is a relation}} \newcommand\isFunc[1]{#1 \text{ is a function}} \newcommand\isOneOne[1]{#1 \text{ is one-one}} \mset{a} = p \iff \forall x[x \in p \liff x = a] $$
यह विशिष्टता द्वारा अद्वितीय है। ऐसा लगता है कि यह एक स्पष्ट परिणाम है$\mset{a} = \mset{b} \lif a = b$, लेकिन इसका उपयोग करने का एकमात्र तरीका मुझे साबित करना है $\mset{a} = \mset{b}$ पाने के लिए $\forall x[x \in \mset{b} \liff x = a]$, अगर मेरी व्याख्या सही थी, तो इसे अस्वीकृत कर दिया जाएगा, इसलिए मुझे नहीं लगता कि यह उत्तर है।
मेरी दूसरी वृत्ति यह थी कि नियम (i) को तोड़ा जा रहा है $f_x = f_x$अलग-अलग चर के रूप में नहीं गिना जाता है। हालाँकि, ऊपर की परिभाषा से यह भी लगता है कि$a \in \mset{a}$पालन किया जाना चाहिए। इसका उपयोग करने का एकमात्र तरीका मुझे साबित करना है$\mset{a} = \mset{a}$ परिभाषा के साथ, जो कि यदि यह मामला था, तो इसे अस्वीकृत कर दिया जाएगा, इसलिए मुझे नहीं लगता कि इसका समाधान भी है।
तो मेरा सवाल यह है कि क्या गिरावट का वास्तविक अपराधी है?
संपादित करें: विस्तारित चर्चा के बाद, मैं उम्मीद करता हूं कि यह प्रश्न क्या है और इसके बारे में नहीं है, यह स्पष्ट करने के लिए कुछ जानकारी जोड़ रहा हूं।
यह सेट सिद्धांत के बारे में नहीं है । मेरी समस्या पुस्तक द्वारा प्रदान किए गए पहले-क्रम तर्क की औपचारिक भाषा के बारे में है। सेट सिद्धांत पर ध्यान केंद्रित करने से बचने के लिए, मैं एक दूसरा उदाहरण प्रदान करता हूं। मान लें कि हमारे पास निम्नलिखित कथन हैं:
$$ \forall a,b,x,y[\text{isSingleChild}(x) \land \text{parentsOf}(a,b,x) \land \text{parentsOf}(a,b,y) \Rightarrow x = y] \\ \forall a,b,x[\text{son}\{a,b\} = x \iff \text{isAdult}(a) \land \text{isAdult}(b) \land \text{parentsOf}(a,b,x) \land \text{isSingleChild}(x)] $$
पहला कथन इसकी गारंटी देता है $x$ की परिभाषा में अद्वितीय है $\text{son}$।
की परिभाषा $\text{son}\{a,b\}$प्रदान किए गए सभी नियमों का पालन करता है। यह बताने का इरादा नहीं है कि कोई भी चर किसी भी विशिष्ट विधेय का अनुसरण करता है, लेकिन केवल उनके तार्किक संबंधों को बताते हुए। हालाँकि, यदि आप इसे पहचान के कानून के साथ उपयोग करते हैं, तो आप इसे प्राप्त कर सकते हैं:
$$ \newcommand{\fitch}[1]{\begin{array}{rlr}#1\end{array}} \newcommand{\fcol}[1]{\begin{array}{r}#1\end{array}} %FirstColumn \newcommand{\scol}[1]{\begin{array}{l}#1\end{array}} %SecondColumn \newcommand{\tcol}[1]{\begin{array}{l}#1\end{array}} %ThirdColumn \newcommand{\subcol}[1]{\begin{array}{|l}#1\end{array}} %SubProofColumn \newcommand{\subproof}{\\[-0.25em]} %adjusts line spacing slightly \newcommand{\fendl}{\\[0.037em]} %adjusts line spacing slightly \small \fitch{ \fcol{1:\fendl 2:\fendl 3:\fendl\fendl 4:\fendl 5:\fendl 6:\fendl 7:\fendl 8:\fendl } & \scol { \forall a,b,x[\text{son}\{a,b\} = x \iff \text{isAdult}(a) \land \text{isAdult}(b) \land \text{parentOf}(a,b,x) \land \text{isSingleChild}(x)] \\ \forall x[\text{son}\{a,b\} = x \iff \text{isAdult}(a) \land \text{isAdult}(b) \land \text{parentOf}(a,b,x) \land \text{isSingleChild}(x)] \\ \text{son}\{a,b\} = \text{son}\{a,b\} \\\quad\iff \text{isAdult}(a) \land \text{isAdult}(b) \land \text{parentOf}(a,b,\text{son}\{a,b\}) \land \text{isSingleChild}(\text{son}\{a,b\}) \\ \forall x[x = x] \\ \text{son}\{a,b\} = \text{son}\{a,b\} \\ \text{isAdult}(a) \land \text{isAdult}(b) \land \text{parentOf}(a,b,\text{son}\{a,b\}) \land \text{isSingleChild}(\text{son}\{a,b\}) \\ \text{isAdult}(a) \\ \forall a [\text{isAdult}(a)] \\ } & \tcol{ \text{P} \fendl 1\ \forall\text{E}\ \fendl 2\ \forall\text{E}\ \fendl\fendl \text{T}\ \fendl 4\ \forall\text{E}\ \fendl 3,5\ {\liff}\text{E}\ \fendl 6\ {\land}\text{E}\ \fendl 7\ \forall\text{I}\ \fendl }} $$
तो उस परिभाषा से, आप यह मान सकते हैं कि हर कोई वयस्क है। ध्यान दें जो मैं नहीं कह रहा हूं। मैं यह नहीं कह रहा हूं कि यह तर्क ध्वनि है, और न ही इसका बचाव करते हुए, मैं कह रहा हूं कि पुस्तक में दिया गया नियम इसे अनुमति देता है (यह संभवतः नहीं करता है, लेकिन मैं तार्किक कटौती के किसी भी नियम को नहीं तोड़ता)। मुझे पता है कि तर्क अतार्किक है, लेकिन औपचारिक नियमों का पालन किया जा रहा है । मेरा प्रश्न तर्क की सुदृढ़ता के बारे में नहीं है, बल्कि पुस्तक में प्रदान की गई प्रणाली की ध्वनि है।
यह भी ध्यान दें कि अभिकथन निर्धारित सिद्धांत के बारे में नहीं है, न ही "पारिवारिक सिद्धांत", यह तर्क के बारे में है । मेरा दावा है कि (स्पष्ट रूप से) दिए गए औपचारिक प्रणाली के भीतर, निम्नलिखित फॉर्म का कोई भी बयान लागू होता है:
$$ \forall a,b,x[\text{entityFrom}\{a,b\} = x \iff \text{hasSomeProperty}(a) \land \text{uniqueRelation}(a,b,x)] \vdash \forall a[\text{hasSomeProperty}(a)] $$
मैं समझता हूं कि परिभाषा निष्कर्ष नहीं निकालती है। बहरहाल, प्रणाली के भीतर, निष्कर्ष इसके प्रति समर्पण प्रतीत होता है।
केवल तीन विकल्प हैं। या तो ध्वनि में प्रदान की जाने वाली औपचारिक प्रणाली, परिभाषा वास्तव में निष्कर्ष पर पहुंचती है, या मैं नियम / क्वांटिफायर के लिए परिभाषा / नियमों के नियमों / नियमों के बारे में कुछ मिस / मिसिंग कर रहा हूं।
पुस्तक और 50 साल से अधिक पुरानी है, सिस्टम में किसी भी संभावित ओवरसाइट्स को इस बिंदु द्वारा देखा गया होगा (यह भी सप्रेस द्वारा लिखा गया था, इसलिए मुझे संदेह है कि कोई भी है), इस प्रकार मुझे यकीन है कि यह पहला नहीं है। परिभाषाएँ भी अच्छी तरह से बनती हैं और ऐसा लगता है कि उन्हें सीधे निष्कर्ष पर नहीं जाना चाहिए, इसलिए यह शायद दूसरा भी नहीं है। इस निष्कर्ष पर पहुंचना कि मैं शायद कुछ अनंतिम / नियम को याद कर रहा हूं या गलत व्याख्या कर रहा हूं, जो उस तर्क को मान्य नहीं करेगा। सवाल यह है कि कौन सा?
प्रश्न का उत्तर क्या नहीं होगा:
- "सेट सिद्धांत में, फ़ंक्शंस में एक विशिष्ट डोमेन होता है और [कुछ सेट प्रॉपर्टीज़] की आवश्यकता होती है, इसलिए सभी वेरिएबल के फ़ंक्शंस होना संभव नहीं है।"
- "आपकी पैरेंटहुड की परिभाषा माता-पिता के विचार का सही ढंग से वर्णन नहीं करती है, क्योंकि इसका मतलब यह नहीं है कि सभी बच्चों के माता-पिता और [कुछ पेरेंटहुड गुण] हैं, इसलिए परिभाषाएं सही विवरण नहीं हैं।"
समाधान एक विशिष्ट सिद्धांत में तर्क की अशुद्धता के बारे में नहीं हो सकता है, जो समस्या की जड़ तक नहीं पहुंचेगा। एक विशिष्ट संदर्भ का उपयोग एक उदाहरण के रूप में किया जा सकता है, लेकिन इसका समाधान औपचारिक भाषा के स्तर पर होना चाहिए।
प्रश्न का उत्तर क्या हो सकता है:
- "पुस्तक द्वारा दिया गया नियम वास्तव में अधूरा है, क्योंकि समानता के साथ एक परिभाषा [कुछ वाक्यगत संपत्ति] जिसमें एक गिरावट हो सकती है। हालांकि, आप एक नए नियम को जोड़कर इससे बच सकते हैं जिसके लिए आपकी परिभाषा [नई परिभाषा गर्भनिरोधक] की आवश्यकता होती है। "
- "आपकी परिभाषाएं तार्किक रूप से निष्कर्ष पर पहुंचती हैं। इसके बारे में सोचें, यदि आपकी परिभाषा [यह] है, तो [इस बात की व्याख्या कि परिभाषा तार्किक रूप से निष्कर्ष तक क्यों पहुंचनी चाहिए], इसलिए तर्क और निष्कर्ष मान्य हैं। मुझे संदेह है कि आप क्या करना चाहते हैं। हालांकि आपकी परिभाषा के साथ समाप्त होता है। मुझे लगता है कि आप वास्तव में क्या मतलब है [अच्छी तरह से व्यवहार किया परिभाषा]। " $^{\dagger}$
- "आपने नियम की गलत व्याख्या की है [n], शायद आपको लगता है कि इसका मतलब है [व्याख्या] जब यह वास्तव में कहता है [अलग व्याख्या]। यदि आप इसे ध्यान में रखते हैं, तो आपके तर्क की लाइन [x] मान्य नहीं है।"
- "आप भूल रहे हैं कि आप परिभाषित शर्तों के लिए स्थानापन्न नहीं कर सकते हैं जैसे आप चर करते हैं। आप केवल परिभाषित शब्द के लिए स्थानापन्न कर सकते हैं यदि [कुछ वाक्यगत स्थिति] लागू होती है, तो कदम $3$ आपकी कटौती अमान्य है। "
- "पहचान के कानून को केवल विशिष्टता की आवश्यकता नहीं है, लेकिन [कुछ चर संपत्ति] भी, इसलिए आप इसे लाइन में उपयोग नहीं कर सकते हैं $5$, क्योंकि आपकी परिभाषा में चर इस बाधा का पालन नहीं करता है। "
आपका उत्तर जरूरत नहीं किसी भी ऊपर की। मैं केवल उन उत्तरों के प्रकार प्रस्तुत कर रहा हूं जो मुझे लगता है कि सबसे अधिक उपयोगी होगा: उत्तर जो औपचारिक भाषा पर केंद्रित हैं।
अंत तक पढ़ने के लिए धन्यवाद, और मुझे उम्मीद है कि यह पर्याप्त समस्या को स्पष्ट करता है जिसे मैं हल करना चाहता हूं।
$\dagger$जैसा कि Mauro ALLEGRANZA द्वारा बताया गया है, यह मामला विशेष रूप से समझ में आता है। जैसा कि उन्होंने इसे रखा:
इसके बारे में सोचो: वहाँ अपने सिद्धांत में कुछ सूक्तियों कह रही है कि नहीं हर वस्तु एक प्रौढ़ है?
जिससे मैं सहमत हूँ। हालाँकि, एक समस्या है: नियम को इसकी अनुमति नहीं देनी चाहिए ।
इससे पहले कि एक ही अध्याय में, नियमों की स्थापना से पहले, उनका उद्देश्य निर्धारित किया जाता है। " उचित परिभाषाओं के लिए मानदंड "। उद्देश्य एक स्वयंसिद्ध को एक परिभाषा से अलग करना है। पहला विवेक ( एलिमिनेशन ऑफ क्रिमिनल ) इस भ्रम के लिए महत्वपूर्ण नहीं है, लेकिन दूसरा है।
गैर-रचनात्मकता का मानदंड बताता है कि एक परिभाषा$S$ गैर रचनात्मक है अगर और केवल अगर:
कोई सूत्र नहीं है $T$ जिसमें नया प्रतीक ऐसा नहीं होता है $S \rightarrow T$ स्वयंसिद्ध से व्युत्पन्न है और सिद्धांत की पूर्ववर्ती परिभाषाएँ लेकिन $T$ इतना व्युत्पन्न नहीं है।
नियमों का उद्देश्य यह सुनिश्चित करना है कि हमारी परिभाषाएं इन दोनों मानदंडों का पालन करती हैं। जैसा कि पृष्ठ १५५ में कहा गया है: "[...] हम परिभाषा के नियमों को बताने के कार्य की ओर मुड़ते हैं जो विलुप्ति और गैर-रचनात्मकता के दो मानदंडों की संतुष्टि की गारंटी देगा "
मेरे पितृत्व उदाहरण में, हमारा पहला कथन स्वयंसिद्ध के रूप में है, और दूसरा परिभाषा के रूप में। हालांकि, उस सिद्धांत के भीतर, बयान$\forall a [\text{isAdult}(a)]$ नया प्रतीक नहीं है और नई परिभाषा से व्युत्पन्न है, लेकिन अकेले स्वयंसिद्धों से नहीं, जो परिभाषा को रचनात्मक बना देगा।
तो उस स्थिति में, मेरा प्रश्न तब बन जाता है: परिभाषा कैसे रचनात्मक है, जब नियम गैर-रचनात्मकता की गारंटी देने वाला है?
जवाब
पुस्तक द्वारा दिया गया नियम अधूरा नहीं है। उदाहरण व्युत्पत्ति जो आप देते हैं वह जाँच के लिए भी है। आपको (प्रतीत होता है) विरोधाभासी निष्कर्ष मिलते हैं क्योंकि प्रतिबंध (iv) वास्तव में आपके किसी भी उदाहरण में नहीं है।
अपने पहले उदाहरण में, सूत्र $S$ निम्नलिखित को दर्शाता है: "$v_2 \text{ is a function } \wedge \langle v_1,w \rangle \in v_2$"। तब तक प्रतिबंध (iv) संतुष्ट नहीं है जब तक कि निम्नलिखित सिद्धांत का विचाराधीन नहीं है:
$$\exists! w. v_2 \text{ is a function } \wedge \langle v_1,w \rangle \in v_2 $$
जो, तब से $v_1,v_2$ अलग-अलग मुक्त चर हैं, यदि ठीक हैं
$$\forall v_1. \forall v_2. \exists! w. v_2 \text{ is a function } \wedge \langle v_1,w \rangle \in v_2 $$
आपके सिद्धांत का एक प्रमेय भी है। कहने की जरूरत नहीं है, यह बाद वाला बयान बहुत ही उचित सिद्धांत के सिद्धांत का नहीं है। विशेष रूप से इसका मतलब होगा "$\forall v. v \text{ is a function }$" अपने आप में।
अपने दूसरे उदाहरण में, सूत्र $S$ निम्नलिखित को दर्शाता है: "$\text{isAdult}(v_1) \wedge \text{isAdult}(v_2) \wedge \text{parentsOf}(v_1,v_2,w) \wedge \text{isSingleChild}(w)$"ऊपर के रूप में, प्रतिबंध (iv) तब तक संतुष्ट नहीं है जब तक कि निम्नलिखित विचार के सिद्धांत का एक प्रमेय नहीं है:
$$ \forall v_1. \forall v_2. \exists! w. \text{isAdult}(v_1) \wedge \text{isAdult}(v_2) \wedge \text{parentsOf}(v_1,v_2,w) \wedge \text{isSingleChild}(w) $$
लेकिन अगर ऊपर दिया गया वाक्य आपके सिद्धांत का एक प्रमेय है, तो आप पहले से ही साबित कर सकते हैं (सीधे, एक वाक्य के रूप में उपरोक्त वाक्य से शुरू करके, और प्रयोग करके $\forall E$, $\wedge E$ तथा $\forall I$) उस $\forall v_1. \text{isAdult}(v_1)$ आपके सिद्धांत का एक प्रमेय है।