समरूपता समतुल्य चिकनी 4-मैनिफोल्ड्स जो stably diffeomorphic नहीं हैं?
याद है कि दो 4-कई गुना $M$ तथा $N$हैं स्थिरतापूर्वक diffeomorphic अगर वहाँ मौजूद$m,n$ ऐसा है कि $$M \#_n (S^2 \times S^2) \cong N \#_n (S^2 \times S^2).$$ यही है, वे पर्याप्त रूप से कई जुड़े sums लेने के बाद diffeomorphic हो जाते हैं $S^2 \times S^2$।
मुझे उदाहरण खोजने में दिलचस्पी है $M$ तथा $N$ जो समरूप हैं समरूप $M \simeq N$, पर कहाँ $M$ तथा $N$ stably diffeomorphic होने में विफल ।
मुझे ऐसे कई उदाहरणों के दो स्रोतों का पता है। उदाहरण में 5.2.4 का
परिमित मौलिक समूह पी। टेचनेर, पीएचडी थीसिस, मेंज विश्वविद्यालय, जर्मनी, शेकर वर्लग 1992, आईएसबीएन 3-86111-182-9 के साथ शीर्ष 4-कई गुना ।
Teichner की एक जोड़ी का निर्माण करता है $M$ तथा $N$ जहां मौलिक समूह है $\pi$ किसी भी परिमित समूह के साथ Sylow 2-उपसमूह का एक सामान्यीकृत उद्धरण समूह है $Q_{8n}$ साथ से $n \geq 2$।
की एक और जोड़ी $M$ तथा $N$ मौलिक समूह के साथ अनंत डेड्रल समूह का निर्माण किया गया था:
सामयिक 4-कई गुना के लिए स्टार-निर्माण पर । पी। टेचनर, प्रोक। जॉर्जिया अंतर्राष्ट्रीय टोपोलॉजी सम्मेलन 1993 में। गीत। ऊपर। एएमएस / आईपी स्टड। सलाह देते हैं। मठ। 2 300-312 एएमएस (1997)
क्या इस घटना के कोई अन्य ज्ञात उदाहरण हैं? मैं साहित्य में किसी अन्य को खोजने में असफल रहा हूं, लेकिन यह मेरी विशेषज्ञता का क्षेत्र नहीं है। क्या इस बारे में कोई सामान्य परिणाम हो सकते हैं?
जवाब
$\newcommand{\Z}{\mathbb Z}\newcommand{\RP}{\mathbb{RP}}$ $\RP^4$ और कैपेल-शेनसन नकली $\RP^4$, जो मैं निरूपित करूंगा $Q$, मौलिक समूह के साथ एक उदाहरण हैं $\Z/2$। मुझे नहीं पता कि यह सामान्य हो जाता है, लेकिन मैं TFT उदाहरणों के लिए इस उदाहरण को पसंद करता हूं: डेविड रटर ने साबित किया कि सेमीसिम्पल 4 डी टीएफटी ओरिएंटेड, स्टिक डिफोमोर्फिक को अलग नहीं कर सकता है$4$-मानिफॉल्ड्स, लेकिन एक सेमीसिम्पल टीएफटी है जो अलग है $\RP^4$ से $Q$।
क्रेक का संशोधित सर्जरी सिद्धांत निर्धारित करता है कि क्या दो बंद हो गए $4$-मनीफॉल्ड्स $X$ तथा $Y$ कर रहे हैं $(S^2\times S^2)$-बॉर्डिज्म का उपयोग करके अलग-अलग विवर्तनिक। विशेष रूप से,$X$ तथा $Y$ एक ही स्थिर सामान्य होना चाहिए $1$-प्रकार $\xi\colon B\to BO$। ( स्थिर सामान्य की परिभाषा के लिए क्रेक देखें$1$-Type।) फिर, कोई सेट की गणना करता है $S(\xi) := \Omega_4^\xi/\mathrm{Aut}(\xi)$, कहां है $\mathrm{Aut}(\xi)$ फाइबर समरूपता समरूपता को दर्शाता है $\xi\colon B\to BO$। $X$ तथा $Y$ में कक्षाएं निर्धारित करें $S(\xi)$; यदि वे इन वर्गों के बराबर हैं, तो वे निश्चित रूप से अलग-अलग हैं।
के मामले में $\RP^4$ तथा $Q$स्थिर सामान्य प्रकार है $\xi\colon B\mathit{SO}\times B\Z/2\to BO$, जहां मानचित्र को रैंक-शून्य वर्चुअल वेक्टर बंडल द्वारा वर्गीकृत किया गया है $V_{\mathit{SO}}\oplus (\sigma - 1)$; यहाँ$V_{\mathit{SO}}\to B\mathit{SO}$ तथा $\sigma\to B\Z/2$टॉटोलॉजिकल बंडल हैं। भर में वर्गीकृत नक्शे की एक लिफ्ट$\xi$ एक पिन के बराबर है$^+$ स्पर्शरेखा बंडल पर संरचना, इसलिए हम देखते हैं $\Omega_4^{\mathit{Pin}^+}\cong\Z/16$। $\mathrm{Aut}(\xi)$पर कार्रवाई $\Z/16$ भेजता है $x\mapsto \pm x$।
किर्बी-टेलर एक समरूपता का चयन करता है$\Omega_4^{\mathit{Pin}^+}\to\Z/16$ और दिखाओ कि इस समरूपता के तहत, दो पिन$^+$ पर संरचनाएं $\RP^4$ को भेजा जाता है $\pm 1$, और दो पिन$^+$ पर संरचनाएं $Q$ को भेजा जाता है $\pm 9$। इस प्रकार जब हम भेजते हैं$x\mapsto -x$, ये दोनों अलग रहते हैं।
टीएफटी विषयांतर: एक 4d अपरंपरागत TFT का निर्माण करने के लिए जो अलग है $\RP^4$ से $Q$, पिन से शुरू करें$^+$ इनवर्टेबल TFT जिसका पार्टीशन फंक्शन है $\eta$-विनियारेंट आइसोमॉर्फिज्म को परिभाषित करता है $\Omega_4^{\mathit{Pin}^+}\to\mu_{16}$ (यहाँ $\mu_{16}$ में एकता की 16 वीं जड़ों को दर्शाता है $\mathbb C$) है। फिर पिन पर परिमित पथ का प्रदर्शन करें$^+$संरचनाएं। इन दोनों ऑपरेशनों को गणितीय रूप से एक बार-विस्तारित टीएफटी के लिए समझा जाता है, इसलिए परिणाम एक बार-विस्तारित (इसलिए सेमीसिम्पल) अपरिमित टीएफटी है जो अलग करता है$\RP^4$ से $Q$। मैंने इसके बारे में एक और एमओ जवाब में थोड़ा और विस्तार से लिखा है ।