सामयिक कई गुना के बारे में

Question

टोपोलॉजी में एक मौलिक प्रमेय का दावा है कि यदि $U \subset \mathbb{R}^{n}$ तथा $V \subset \mathbb{R}^{m}$ होमोमोर्फिक हैं, फिर $m=n$।

(i) - उपरोक्त आकार के लिए, परिचित टोपोलॉजिकल स्पेस के संदर्भ में विवरण लिखने का प्रयास करें।

(ii) - साबित करें कि बालों के साथ एक गोला (आकार के ऊपर), एक टोपोलॉजिकल कई गुना नहीं है।

(ii) हमारे पास: एक जुड़ा हुआ कई गुना एक अद्वितीय आयाम है $n$, और हर बिंदु $X$ तब खुली इकाई गेंद के लिए एक खुला पड़ोस होमोमोर्फिक है $\mathbb D^n\subset \mathbb R^n$।

हालांकि चित्र में $X$ से अलग अंक $q$ बालों पर एक खुला निगोबरहुड होमोमोर्फिक है $\mathbb D^1$ , जबकि अंकों से अलग है $q$ गोले पर एक खुला निगोबरहुड होमोमोर्फिक है $\mathbb D^2$।

जबसे $X$ यह जुड़ा हुआ है यह साबित करता है कि यह कई गुना नहीं है, क्योंकि इसमें एक अद्वितीय आयाम नहीं हो सकता है। आकार से ऊपर एक टोपोलॉजिकल कई गुना नहीं है।

हम पहले सवाल का जवाब कैसे दे सकते हैं? हम यह भी जानते हैं कि ऊपर की आकृति गोले के लिए होमियोमॉर्फिक है और गोले में टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड है, लेकिन ऊपर की आकृति एक टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड नहीं है। इसलिए हमें दो होमियोमॉर्फिक स्पेस मिलते हैं, जैसे उनमें से एक टॉपोलॉजिकल मैनिफोल्ड नहीं है और दूसरा टॉपोलॉजिकल मैनिफोल्ड है। क्या यह सच है ?

Answer 1

अंतरिक्ष को बुलाओ $X$। आप अंतरिक्ष को एक गोले के गोंद के रूप में लिख सकते हैं$\mathbb{S}^2$ और एक आधा खुला अंतराल

$$ X = \mathbb{S}^2 \coprod_{q = 0} [0,1)$$

दूसरे शब्दों में, $X$ नक्शे का पुशआउट है $\{\ast\} \rightarrow \mathbb{S}^2$ के द्वारा दिया गया $\ast \mapsto q$ तथा $\{\ast\} \rightarrow [0,1)$ के द्वारा दिया गया $\ast \mapsto 0$।