संभावना घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) में "घनत्व" से हमारा वास्तव में क्या मतलब है? [डुप्लिकेट]

Question

सामान्य घनत्व में द्रव्यमान / मात्रा होती है। इसके अलावा इसका उपयोग जनसंख्या घनत्व, जो जनसंख्या / इकाई क्षेत्र जैसी किसी चीज़ के लिए किया जाता है।

पीडीएफ में शब्द घनत्व का क्या महत्व है?

Answer 1

संक्षिप्त उत्तर: भौतिक घनत्व की तरह, संभावना घनत्व संभावना / मात्रा है।

लंबे उत्तर: सजातीय वस्तुओं के लिए, घनत्व को परिभाषित किया जा सकता है जैसा आपने कहा था,$m/V$, साथ से $m$ द्रव्यमान और $V$इसकी मात्रा। हालांकि, यदि आपकी वस्तु सजातीय नहीं है, तो घनत्व वस्तु के भीतर अंतरिक्ष निर्देशांक का एक कार्य है:$$ \rho(x, y, z) = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\Delta m(x, y, z)}{\Delta V} $$अर्थात दिए गए निर्देशांक के चारों ओर एक infinitesimal मात्रा के अंदर का द्रव्यमान, उस infinitesimal मात्रा से विभाजित होता है। प्लम पुडिंग के बारे में सोचो: किशमिश पर घनत्व आटा में घनत्व से अलग है।

प्रायिकता के लिए, यह मूल रूप से समान है: $$ f(x, y, z) = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{\Delta F(x, y, z)}{\Delta V} $$ कहां है $f$ संभावना घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) और है $F$ संचयी घनत्व फ़ंक्शन (CDF), ताकि $\Delta F$ इन्फिनिटिसिमल परिमाण में असीम संभावना है $\Delta V$ निर्देशांक के आसपास के क्षेत्र में $(x, y, z)$ अंतरिक्ष में जिसके ऊपर $F$ परिभषित किया।

अब, हम तीन अंतरिक्ष आयामों के साथ भौतिक दुनिया में रहने के लिए होते हैं, लेकिन हम केवल अंतरिक्ष में संभावनाओं को परिभाषित करने तक सीमित नहीं हैं। व्यवहार में, एकल आयाम पर परिभाषित संभावनाओं के साथ काम करना बहुत अधिक सामान्य है, कहते हैं,$x$। फिर उपरोक्त सरल हो जाता है$$ f(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta F(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{F(x+\Delta x) - F(x)}{\Delta x} $$ लेकिन, निश्चित रूप से, आपके संभावना मॉडल के आधार पर, $F$ तथा $f$ किसी भी संख्या में आयामों पर परिभाषित किया जा सकता है।

Answer 2

आप रेडॉन-निकोडियम व्युत्पन्न को घनत्व की अधिक सामान्य धारणा की औपचारिक परिभाषा के रूप में देख सकते हैं ।

यह दो उपायों का अनुपात है (जिनके पास व्यापक संपत्ति है, वे additive हैं ) एक ही स्थान पर परिभाषित हैं ।

$$\rho = \frac{d \nu}{d \mu}$$

यह अनुपात एक मात्रा को मापता है $\nu$ एक सेट की $S$ अन्य उपाय पर एक अभिन्न द्वारा व्यक्त $\mu$ $$\nu(S) = \int_S \rho d \mu$$

आमतौर पर हर $\mu$दूरी, क्षेत्र या आयतन जैसे मीट्रिक माप पर आधारित एक उपाय है । यह भौतिकी में घनत्व, घनत्व, ऊर्जा घनत्व, आवेश घनत्व, कण घनत्व जैसे घनत्वों के लिए सामान्य है।

प्रायिकता के घनत्व के साथ हर और अधिक सामान्यतः एक अन्य प्रकार का चर हो सकता है जो भौतिक स्थान से संबंधित नहीं है । फिर भी, अक्सर यह यूक्लिडियन माप या लेब्सेग माप के उपयोग के समान होता है । यह सिर्फ इतना है कि चर को भौतिक स्थान में समन्वय की आवश्यकता नहीं है।

Answer 3

एकल निरंतर यादृच्छिक चर के लिए, बिंदु पर पीडीएफ का मूल्य $t$आपको संभावना द्रव्यमान के घनत्व को बताता है , बिंदु पर प्रति व्यक्ति लंबाई की संभावना की इकाइयों में मापा जाता है$t$असली लाइन पर। संभाव्यता द्रव्यमान का घनत्व वास्तविक रेखा पर विभिन्न बिंदुओं पर भिन्न हो सकता है; यह हाई-स्कूल भौतिकी के बड़े पैमाने पर / मात्रा के नुस्खे के रूप में बिल्कुल नहीं है।