समीकरण के सामान्य पूर्णांक समाधान के लिए सबूत 𝑏𝑦 + 𝑁 = duplicate [डुप्लिकेट]

Dec 26 2020

दिया हुआ $a,b\in\mathbb{Z}-\{0\}$ तथा $N\in\mathbb{Z}$, यह दिखाना आसान है कि यदि $x_0,y_0\in\mathbb{Z}$ के लिए एक विशेष समाधान कर रहे हैं $ax+by=N$, तब फिर $x=x_0+\frac{b}{d}t$ तथा $y=y_0-\frac{a}{d}t$, कहां है $d=gcd(a,b)$ तथा $t\in\mathbb{Z}$, का भी समाधान हैं $ax+by=N$

लेकिन क्या मैं पूछ सकता हूं कि यह कैसे प्रमाणित किया जाए कि वे वास्तव में सामान्य समाधान हैं $ax+by=N$ अगर हम अंदर समाधान को प्रतिबंधित करते हैं $\mathbb{Z}$? (यानी सभी पूर्णांक समाधान गिने गए हैं)

धन्यवाद!

जवाब

2 AmeetSharma Dec 26 2020 at 15:39

आज्ञा देना एक सेट का आदेश दिया सभी जोड़े पूर्णांक समाधान है। B, पूर्ण रूप से दिए गए पूर्णांक समाधानों के सभी दिए गए युग्मों का केवल आपके द्वारा दिए गए फॉर्म का सेट है। हम जानते है$B \subseteq A$

पहले समीकरण के लिए सभी तर्कसंगत समाधान खोजें, फिर उन्हें प्रतिबंधित करें।

चलो

$x=x_0+bu$

के लिये $u \in\mathbb{Q}$

यह किसी भी तर्कसंगत एक्स के लिए यू के लिए हल है।

और फिर उपयोग करना

$ax+by=N$

$a(x_0+bu)+by=N$

$y=\frac{N-a(x_0+bu)}{b}$

$y=\frac{by_0-abu}{b} = y_0-au$, जो तर्कसंगत भी है।

अतः A के प्रत्येक तत्व को लिखा जा सकता है $(x_0+bu,y_0-au)$ कुछ तर्कसंगत यू के लिए।

तो चलो $(x_0+bu,y_0-au) \in A$

हमें इसकी आवश्यकता है

$bu \in \mathbb{Z}$

$au \in \mathbb{Z}$

लिखो $u=\frac{m}{n}$। मान लें कि यह सबसे कम शब्दों में है

इसलिए

$\frac{bm}{n} \in \mathbb{Z}$

$\frac{am}{n} \in \mathbb{Z}$

इसलिए $n|b$ तथा $n|a$

इसका मत $n|d$ कहां है $d=gcd(a,b)$

हम लिख सकते है $rn=d$ कुछ पूर्णांक के लिए आर

इसलिए $n = \frac{d}{r}$

$\frac{bm}{n} = \frac{b}{d}(rm)$

$\frac{am}{n} = \frac{a}{d}(rm)$

इसलिए दे रहा हूं $t=rm$, हम वह जानते हैं $(x_0+\frac{b}{d}t,y_0-\frac{a}{d}t) \in B$

इसलिए $A \subseteq B$ हमें देना $A=B$