समीकरणों में प्रतिस्थापित करने से अत्यधिक समाधान
मैं इस उदाहरण पर आया हूं कि आप एक विलुप्त समाधान के साथ कैसे समाप्त हो सकते हैं लेकिन मैं सोच रहा था कि यह कैसे उत्पन्न हुआ। हमारे पास समीकरण है:$$x^2+x+1=0 $$ चूंकि x = 0 समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है, आप x को दोनों तरफ से विभाजित कर सकते हैं जो पैदावार देता है: $$x+1+\frac{1}{x}=0$$जो हमारे पहले समीकरण के बराबर है। हमारे पहले eqution से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं:$$-x^2=x+1$$ अब हम इसे दूसरे समीकरण में बदलते हैं:$$x^2=\frac{1}{x}$$ जिसके परिणामस्वरूप $$x^3=1$$जो x के बाद से हमारे पिछले समीकरण के बराबर है। 0. हालांकि, हमारे अंतिम समीकरण का एक समाधान x = 1 है, जो हमारे मूल समीकरण का समाधान नहीं है। मेरे पास एक अस्पष्ट विचार है कि इसका इस तथ्य से लेना-देना हो सकता है कि आपको एक घन समीकरण मिलता है और आपने एक द्विघात के साथ शुरू किया था, और यह कदम निम्नलिखित का अर्थ करता है और इसके विपरीत नहीं, लेकिन क्या आप इसे बहुत विस्तृत उत्तर प्रदान कर सकते हैं कि यह क्यों पैदा होती है? क्या आप अधिक उदाहरण प्रदान कर सकते हैं?
जवाब
अगर हम बुलाते हैं $A(x)=x^2+x+1$ तथा $B(x)=x+1+\frac1x$, हम आपके मार्ग को इस तरह से व्यवस्थित कर सकते हैं: $$A(x)=0\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ B(x)=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ A(x)=0 \\B(x)=0\end{cases}\stackrel{!!!}\Rightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ B(x)-A(x)=0\end{cases}$$
जबकि तुल्यता को बनाए रखने के लिए आपको रखना चाहिए $A(x)=0$ में $\begin{cases}x\ne0\\ B(x)-A(x)=0\\ A(x)=0\end{cases}$
यह प्रतिस्थापन ($x+1=-x^2$) समीकरण की जड़ों के एक सेट का विस्तार करता है
चूंकि $-x^2$ पर भी निर्भर करता है $x$।
आप स्थानापन्न कर सकते हैं $x+1=y$, उदाहरण के लिए।
अधिक उदाहरण, जब एक समान प्रतिस्थापन समान समस्याएं देता है।
हमें हल करने की जरूरत है $$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}.$$
हमने प्राप्त किया: $$\left(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}\right)^3=x-1$$ या $$2x+1+x+1+3\sqrt[3]{2x+1}\cdot\sqrt[3]{x+1}\left(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}\right)=x-1.$$ अब, कब से $$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1},$$ जो कुछ बुरा हो सकता है, हम प्राप्त करते हैं: $$3\sqrt[3]{(2x+1)(x+1)(x-1)}=-3-2x$$ या $$x(440x^2+630x+189)=0$$ और हमें विकल्पों में से एक के रूप में मिला $x=0$।
यह देखना आसान है $0$ प्रारंभिक समीकरण की जड़ नहीं है और यह हुआ
क्योंकि हमने एक सही प्रतिस्थापन का उपयोग नहीं किया $\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}.$
अब, हमें समीकरण की सभी जड़ों की जाँच करने की आवश्यकता है $440x^2+630x+189=0$ शुरुआती समीकरण की जड़ें हैं, जो इतना आसान नहीं है।
अगर हम इन समस्याओं से बचना चाहते हैं, तो हमें निम्नलिखित पहचान का उपयोग करने की आवश्यकता है। $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$$
एक समीकरण के सभी परिवर्तनों को प्रतिवर्ती होना चाहिए। साथ में$x=0$,
$$x^2+x+1=0\leftrightarrow x+1+\frac1x=0$$ ठीक है।
लेकिन एक में दो समीकरणों को मिलाकर $$\begin{cases}x+1=-\dfrac1x\\x+1=-x^2\end{cases}\leftrightarrow x^2=\frac1x$$ नहीं है।