संदर्भ अनुरोध: कैलकुलस के मौलिक प्रमेय का बहुआयामी सामान्यीकरण
$\newcommand\R{\mathbb R}$लश्कर $f\colon\R^p\to\R$एक सतत कार्य हो। के लिये$u=(u_1,\dots,u_p)$ तथा $v=(v_1,\dots,v_p)$ में $\R^p$, चलो $[u,v]:=\prod_{r=1}^p[u_r,v_r]$; $u\wedge v:=\big(\min(u_1,v_1),\dots,\min(u_p,v_p)\big)$; $u\vee v:=\big(\max(u_1,v_1),\dots,\max(u_p,v_p)\big)$; $$\int_u^v dx\, f(x):= (-1)^{\sum_{r=1}^p\,1(u_r>v_r) }\int_{[u\wedge v,u\vee v]}dx\,f(x).$$ लश्कर $F\colon\R^p\to\R$ किसी भी व्यक्ति का विरोधी हो $f$, इस अर्थ में कि $$D_1\cdots D_p F=f,$$ कहां है $D_j$ के संबंध में आंशिक भेदभाव का संचालक है $j$वें तर्क; यह माना जाता है कि इस दोहराया आंशिक भेदभाव का परिणाम उस तर्क के आदेश पर निर्भर नहीं करता है जिसके संबंध में आंशिक व्युत्पन्न लिया जाता है। लश्कर$[p]:=\{1,\dots,p\}$। प्रत्येक सेट के लिए$J\subseteq[p]$, चलो $|J|$ की कार्डिनैलिटी को दर्शाता है $J$।
फिर पथरी के मूल प्रमेय ( लेम्मा 5.1 ) के निम्न बहुआयामी सामान्यीकरण को स्थापित करना कठिन नहीं है : \ start {समीकरण} \ int_u ^ v dx \, f (x) = \ sum_ {JS subseteq [p]} ( -1) ^ {p- | J |} F (v_J), \ end {समीकरण} जहां$v_J:=\big(v_1\,1(1\in J)+u_1\,1(1\notin J),\dots,v_p\,1(p\in J)+u_p\,1(p\notin J)\big)$।
क्या किसी ने इस या इसी तरह के बयान को कहीं और देखा है? (मैं केवल संदर्भों के बारे में पूछ रहा हूं, सबूत नहीं।)
जवाब
इस तरह के एक प्राथमिक तथ्य के लिए, जिसे एक हजार बार पुनर्निमित किया गया हो सकता है, पहले पेपर को खोजना मुश्किल है जहां यह दिखाई दिया। हालाँकि, मुझे कुछ गायब संदर्भ देने दें। अभिन्न अंग के साथ संबंधित "स्मार्ट" प्रक्षेप सूत्र या टेलर सूत्र के बारे में रचनात्मक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और सांख्यिकीय यांत्रिकी में एक संपूर्ण उद्योग है । इनका उपयोग तथाकथित क्लस्टर विस्तार करने के लिए किया जाता है । ओपी की पहचान के लिए, लेने में सामान्यता का नुकसान नहीं है$u=(0,0,\ldots,0)$ तथा $v=(1,1,\ldots,1)$। इस मामले में, बुलियन जाली में मोएबियस उलटा के माध्यम से सूत्र निम्न पहचान से आता है।
लश्कर $L$एक परिमित सेट हो। लश्कर$f:\mathbb{R}^L\rightarrow \mathbb{R}$, $\mathbf{x}=(x_{\ell})_{\ell\in L}\mapsto f(\mathbf{x})$ पर्याप्त रूप से सुचारू कार्य करें, और होने दें $\mathbf{1}=(1,\ldots,1)\in\mathbb{R}^L$, तब फिर $$ f(\mathbf{1})=\sum_{A\subseteq L}\int_{[0,1]^A}d\mathbf{h} \left[\left(\prod_{\ell\in A}\frac{\partial}{\partial x_{\ell}}\right)f\right](\psi_A(\mathbf{h})) $$ कहां है $\psi_A(\mathbf{h})$ तत्व है $\mathbf{x}=(x_{\ell})_{\ell\in L}$ का $\mathbb{R}^L$ तत्व से परिभाषित $\mathbf{h}=(h_{\ell})_{\ell\in A}$ में $[0,1]^A$ नियम से: $x_{\ell}=0$ अगर $\ell\notin A$ तथा $x_{\ell}=h_{\ell}$ अगर $\ell\in A$। बेशक 1 की जरूरत है) यह सब पर लागू होता है$L$के उपसमुच्चय हैं $[p]$, 2) बुलियन जाली में Möbius उलटा का उपयोग करें, और 3) करने के लिए विशेषज्ञ $L=[p]$, और यह ओपी की पहचान देता है।
उपरोक्त सूत्र अपने प्रकार का सबसे भोला है जो "क्यूब्स की जोड़ी" क्लस्टर विस्तार करने के लिए उपयोग किया जाता है। आलेख में सूत्र III.1 देखें
ए। अब्देसेलम और वी। रिवासो, "पेड़, जंगल और जंगल: क्लस्टर विस्तार के लिए एक वनस्पति उद्यान" ।
इसे किताब के पृष्ठ ११५ पर भी शब्दों में समझाया गया है
वी। रिवासेउ, " प्रीटर्बेटिव से कंस्ट्रक्टिव रिन्यूएलाइज़ेशन" ।
अब फॉर्मूला एक बहुत अधिक शक्तिशाली का एक विशेष मामला है, जिसका नाम है, लेम्मा 1 इन
ए। अब्देसेलम और वी। रिवासो, "एक स्पष्ट बड़े बनाम छोटे क्षेत्र के मल्टीस्केल क्लस्टर विस्तार" ,
जहां "अनुमति" दृश्यों पर एक रकम है $(\ell_1,\ldots,\ell_k)$ के तत्वों की मनमानी लंबाई $L$के सबसेट के बजाय $L$। अनुमत की धारणा एक मनमाने ढंग से रोक नियम पर आधारित है। उपरोक्त पहचान "अनुमत" से मेल खाती है$=$"दोहराए बिना", या रोक नियम है कि एक पर कोई व्यवहार नहीं करना चाहिए $\ell$एक अनुक्रम के अंत में जहां यह पहले से ही दिखाई दिया था। नियम एक रोक Rivasseau के साथ अपने लेख के लेम्मा 1 का उपयोग कर सकते ने हर्मिट-Genocchi सूत्र, के परिशिष्ट ए में Hairer द्वारा अनिसोट्रोपिक टेलर सूत्र साबित करने के लिए की पसंद के इस प्रकार के साथ खेल के द्वारा "नियमितता संरचनाओं का एक सिद्धांत" और कई अन्य चीजों । कब$f$ उदाहरण के लिए एक रेखीय रूप का घातांक है, एक MO पदों के रूप में विभिन्न बीजीय पहचान प्राप्त कर सकता है
तर्कसंगत कार्य पहचान
क्रमपरिवर्तन के योग की पहचान
मैं उल्लेख करना भूल गया, एक लेममा 1 का उपयोग कैलकुलस 1 से टेलर फॉर्मूला प्राप्त करने के लिए कर सकता है। यह मेल खाता है $L$ एक तत्व होने और परिभाषित दृश्यों को अधिकतम लंबाई के रूप में अनुमति देता है $n$। ले देख
https://math.stackexchange.com/questions/3753212/is-there-any-geometrical-intuition-for-the-factorials-in-taylor-expansions/3753600#3753600
$p=2$डायमेंशनल केस रोगोवस्की की कैलकुलस टेक्स्टबुक में एक एक्सरसाइज है। यह 2008 के शुरुआती पारगमन संस्करण में पृष्ठ 885, धारा 15.1 (कई चर में एकीकरण) पर व्यायाम 47 है।