शंकु का चतुष्कोण से क्या संबंध है? 2 विशेष क्यों है?
मुझे हमेशा शंकु वर्गों के दो अत्यंत गैर-स्पष्ट रूप से संबंधित परिभाषाओं के बारे में बताया गया है (यानी यह इतना रहस्यमय / जादुई लगता है कि किसी तरह शंकु के स्लाइस 2 चर 2 डिग्री के समीकरणों से संबंधित हैं)। हाल ही में मैं निम्नलिखित पृष्ठों / वीडियो पर आया:
- दीर्घवृत्त के बारे में यह 3B1B वीडियो , जिसने शंकु को समझने की मेरी इच्छा पर राज किया
- द्विघातीय समीकरण सही गोलाकार शंकु वर्गों के समान क्यों हैं? , जो इस प्रश्न को हल करने की कोशिश करने के लिए एक बहुत कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोण प्रदान करता है
- पाइथागोरस त्रिगुणों को दर्शाने पर एक और 3 बी 1 बी वीडियो (यानी एक वृत्त के तर्कसंगत बिंदुओं को खोजना)
- और मंजुल भार्गव का व्याख्यान बर्च-स्विंटर्टन-डायर अनुमान पर है , जहाँ मिनट ~ 10-15 शंकु पर तर्कसंगत बिंदुओं की समस्याओं के पूर्ण समाधान पर चर्चा करते हैं।
जबकि 3 बी 1 बी का वीडियो बहुत मायने रखता है और ज्यामितीय दृष्टिकोण से बहुत सुंदर है, यह किसी भी अन्य शंकुओं के बारे में बात नहीं करता है, या "डिग्री 2" के साथ संबंधों पर चर्चा करता है। इसके अलावा, दूसरा 3B1B वीडियो मैंने लिंक किया और फिर भार्गव के व्याख्यान "डिग्री 2" को उच्च डिग्री की तुलना में अच्छी तरह से समझते हुए "डिग्री 2" पर प्रकाश डाला, और मुझे फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय और समाधान के गैर-अस्तित्व के बारे में थोड़ा याद दिलाता है$n>2$) का है।
इसलिए, मुझे लगता है कि मेरे प्रश्न इस प्रकार हैं:
- क्यों, एक सहज दृष्टिकोण से, हमें उम्मीद करनी चाहिए कि शंकु को डिग्री 2 बीजीय समीकरणों के शून्य-सेट से गहरा संबंध है?
और अधिक आम तौर पर:
- क्या कोई गहरा कारण है कि "2" इतना खास क्यों है? मैंने अक्सर यह सुना है कि "गणित रैखिक चीजों को रैखिक बीजगणित में बदलने के बारे में है" क्योंकि रैखिक बीजगणित "एकमात्र विषय गणितज्ञ पूरी तरह से समझते हैं"; लेकिन ऐसा लगता है कि हम चतुर्भुज के बारे में बहुत सी अच्छी चीजों को भी समझते हैं - शंकु के साथ हमारे उपरोक्त संबंध हैं, तर्कसंगत बिंदुओं की पूरी समझ है, और पाइथागोरस प्रमेय (ओह! और मैंने सिर्फ द्विघात पारस्परिकता के बारे में सोचा है)।
यह भी ध्यान रखना दिलचस्प है कि भौतिकी में कई समीकरण 2 (दूसरी व्युत्पन्न) से संबंधित हैं, हालांकि यह एक खिंचाव हो सकता है। आपके द्वारा साझा किए गए किसी भी विचार की मैं सराहना करता हूं!
जवाब
एक शंकु स्वयं एक द्विघात है! सिर्फ दो के बजाय तीन चर में। अधिक सटीक रूप से, शंक्वाकार सतहें "पतित हाइपरबोलॉइड्स ," जैसे हैं
$$x^2 + y^2 - z^2 = 0.$$
शंकु वर्गों को लेना विमान के साथ शंकु को प्रतिच्छेद करने से मेल खाता है $ax + by + cz = d$, जो तीन में से एक को दूसरे दो के रैखिक संयोजन के साथ एक स्थिर की जगह देता है, जो दो चर में एक द्विघात पैदा करता है। यह देखने के लिए सबसे आसान है कि यदि$z$ एक स्थिरांक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $r$ तब हमें एक वृत्त मिलता है $x^2 + y^2 = r^2$ (जो है कि आप उपरोक्त समीकरण के साथ कैसे आ सकते हैं? एक शंकु एक आकृति है जिसका टुकड़ा है $z = \pm r$ त्रिज्या का एक चक्र है $r$) का है। इसी प्रकार यदि$x$ या $y$ एक स्थिरांक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है हमें एक हाइपरबोला मिलता है।
मुझे नहीं पता कि मेरे पास इस बारे में पेश करने के लिए एक पूरी तस्वीर है कि क्यूब्रिक्स को क्यूबिक्स और आगे से समझने में इतना आसान क्यों है। शायद सबसे सरल बात यह है कि द्विघात रूप चौकोर (सममित) मेट्रिसेस से निकटता से संबंधित हैं$M$, क्योंकि वे लिखे जा सकते हैं $q(x) = x^T M x$। और हमारे पास वर्ग मैट्रिसेस को समझने के लिए बहुत सारे उपकरण हैं, जिनमें से सभी को द्विघात रूपों को समझने के लिए लाया जा सकता है, जैसे वर्णक्रमीय प्रमेय । घन रूपों के लिए संबंधित वस्तु एक डिग्री है$3$ टेंसर जिसका विश्लेषण करना कठिन है।
शायद यह कहने का एक बहुत ही मूर्खतापूर्ण तरीका है $2$ विशेष है क्योंकि यह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक है जो इसके बराबर नहीं है $1$। तो क्वाडराटिक्स सबसे सरल चीजें हैं जो रैखिक और आगे नहीं हैं।
शंकु क्या है?
यह एक ठोस है, ताकि इसके केंद्र अक्ष पर लंबवत प्रत्येक क्रॉस सेक्शन एक सर्कल है, और इन क्रॉस सेक्शन का रेडी शंकु के शीर्ष से दूरी के लिए आनुपातिक है।
और बस। शंकु की सतह बिंदु हैं$(x,y,z)$ कहां है $z = h= $ क्रॉस-सेक्शन की ऊंचाई $= r = $क्रॉस सेक्शन का त्रिज्या। तथा$(x,y)$ त्रिज्या के साथ वृत्त के बिंदु हैं $r = h = z$।
जैसे कि एक वृत्त का समीकरण है $\sqrt{x^2 +y^2} = r$ या $x^2 + y^2 = r^2$ एक शंकु का समीकरण है $x^2 + y^2 = z^2$।
हर शंकु खंड एक विमान के साथ शंकु को काटना एक मामला है। एक विमान संयम से संबंधित होने के लिए तीन चर का प्रतिबंध है$ax +by + cz= k$ और यह किसी भी तीसरे चर को अन्य दो के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करने का मामला है।
तो एक विमान और शंकु के पार अनुभाग 2 डिग्री समीकरण की व्युत्पत्ति होगी $x^2 = y^2 = z^2$जहाँ एक चर दूसरे दो का रैखिक संयोजन होगा। दूसरे शब्दों में दो चर के साथ एक दूसरी डिग्री समीकरण।
और यही सब कुछ है।
बेशक असली सवाल यह है कि एक वृत्त का समीकरण क्यों है $x^2 + y^2 =r^2$? और क्यों है कि एक दूसरे की डिग्री समीकरण का एक महत्वपूर्ण प्रतिनिधित्व?
और वह पूरी तरह से पाइथागोरस प्रमेय के कारण है। अगर हम किसी भी बिंदु पर$(x,y)$ एक विमान पर और तीन बिंदुओं पर विचार करें $(x,y), (x,0)$ तथा $(0,0)$वे एक सही त्रिकोण के तीन कोने के लिए। इस त्रिकोण के पैर लंबाई के होते हैं$x$ तथा $y$ और इसलिए पाइथागोरस प्रमेय द्वारा कर्ण की लंबाई होगी $\sqrt{x^2 + y^2}=h$ और वह दूरी है $(x,y)$ सेवा मेरे $(0,0)$।
अब एक वृत्त उन बिंदुओं का संग्रह है जहां से दूरी है $(x,y)$ सेवा मेरे $(0,0)$ निरंतर मूल्य है $r = h$। और इसलिए यह सभी बिंदु होंगे$(x,y)$ कहां है $\sqrt{x^2 + y^2} =r$।
और बस। इसीलिए: दूरियाँ सही त्रिभुजों से संबंधित होती हैं, दाहिनी त्रिकोण 2 डिग्री समीकरणों से संबंधित होती हैं, मंडलियाँ दूरियों से संबंधित होती हैं, शंकु मंडलियों से संबंधित होती हैं और ये सभी 2 डिग्री समीकरणों से संबंधित होती हैं।
यह बात है।
समीपता का कारण यह है कि शंकु हलकों पर आधारित होते हैं , और मंडलियां, बदले में, द्विघात समीकरण द्वारा दी जाती हैं
$$x^2 + y^2 = r^2$$
। अब, इस कारण से कि हलकों में यह समीकरण है, ऐसा इसलिए है क्योंकि वे यूक्लिडियन दूरी फ़ंक्शन से संबंधित हैं, किसी दिए गए केंद्र से निरंतर दूरी पर सभी बिंदुओं के सेट होने के नाते, यहां पारंपरिक रूप से मूल के रूप में लिया जाता है। विशेष रूप से,
$$d(P, Q) = \sqrt{|Q_x - P_x|^2 + |Q_y - P_y|^2}$$
इंसोफर के रूप में यूक्लिडियन मीट्रिक का यह रूप क्यों है, मैं कहूंगा कि यह निम्न के लिए आता है। इसमें थोड़ी अधिक जानकारी प्राप्त करने के लिए, मेट्रिक्स के कुछ अधिक सामान्य रूप पर विचार करना उपयोगी है
$$d_p(P, Q) := \left(|Q_x - P_x|^p + |Q_y - P_y|^p\right)^{1/p}$$
इसको कॉल किया गया $p$-मेट्रिक्स, जो वास्तव में, "अच्छी तरह से पूछने के परिणामस्वरूप होता है, अगर हम शक्ति को 2 नहीं होने देते हैं तो क्या होता है ?" और इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए बस सही हैं।
और यह पता चला है कि $d_2$एक बहुत ही विशेष संपत्ति है। यह एकमात्र ऐसा है जिसके लिए आप एक ज्यामितीय वस्तु ले सकते हैं, उस पर एक बिंदु घोषित कर सकते हैं, फिर उस वस्तु पर कोई अन्य बिंदु ले सकते हैं और उसे टैग कर सकते हैं, धुरी से टैग बिंदु की दूरी को माप सकते हैं और अब उस वस्तु को बदल सकते हैं। इस तरह से केंद्र निश्चित रहता है, जबकि टैग बिंदु एक ही दूरी पर एक अलग दिशा का सामना करने के लिए आता है, और फिर भी पूरे ऑब्जेक्ट का समग्र आकार और आकार अपरिवर्तित रहता है। या, इसे दूसरे तरीके से रखने के लिए, "रोटेशन" के रूप में ऐसी चीज ज्यामितीय अर्थ को कठोर गति के रूप में बनाती है।
तो, अंतिम कारण शंकु द्विघात क्या है? क्योंकि यूक्लिडियन स्पेस में, आप किसी भी तरह से अपने आकार और आकार को बदले बिना चीजों को घुमा सकते हैं।
डेविड ममफोर्ड का एक पेपर है जिसे आपकी तैयारी के स्तर के आधार पर पढ़ना मुश्किल हो सकता है।
उस कागज़ का अभिप्राय यह है कि बहुपद समीकरणों के किसी भी प्रणाली को द्विघात और रैखिक समीकरणों की प्रणाली में (अधिक चर और अधिक समीकरणों को जोड़कर) प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
यह संभवतः यह दिखाने के लिए आगे सामान्य कर सकता है कि यदि बहुपद प्रणाली में पैरामीटर हैं, तो कोई यह सुनिश्चित कर सकता है कि ये पैरामीटर केवल रैखिक समीकरणों में दिखाई देते हैं।
इसका सबसे खास शुरुआती मामला वही है जिसका आपने उल्लेख किया है।
भौतिकी के लिए एक कारण "2" विशेष है न्यूटन का दूसरा नियम, जो बल को त्वरण (वेग नहीं) से संबंधित करता है और यह एक दूसरा व्युत्पन्न है। ठीक है, उलटा वर्ग कानूनों में "2" की भूमिका भी है।
कई चर में द्विघात रूपों के माध्यम से ज्यामिति में "2" विशेष है, यह है कि कई चर में द्विघात रूपों में कुछ अच्छे गुण हैं।
- सभी क्रॉस की शर्तों को हटाने के लिए प्रत्येक द्विघात रूप को विकर्ण किया जा सकता है, इसलिए आप विकर्ण द्विघात रूपों के मामले पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं $a_1x_1^2 + \cdots + a_nx_n^2$। (कड़ाई से यह कहना विशेषता के क्षेत्रों में द्विघात रूपों के लिए सही नहीं है$2$, लेकिन आपको विशेषता से ज्यामितीय अंतर्ज्ञान नहीं मिलता है $2$।) इसके विपरीत, क्यूबिक रूपों को विकर्ण नहीं किया जा सकता है, यहां तक कि ओवर भी $\mathbf C$। उदाहरण के लिए, घन रूप$y^2z - x^3 + xz^2$ (जिसका शून्य सेट dehomogenized रूप में समीकरण द्वारा दिया गया है $y^2 = x^3 - x$) पर विकर्ण नहीं किया जा सकता है $\mathbf C$: मेरी टिप्पणियाँ यहाँ देखें
हर निरर्थक द्विघात रूप में प्रतिबिंबों के निर्माण के लिए स्वप्रतिरक्षी का एक बड़ा समूह है । इसे द्विघात रूप का ऑर्थोगोनल समूह कहा जाता है। इसके विपरीत, उच्च श्रेणी के सजातीय बहुपद का "ऑर्थोगोनल समूह" है$f(\mathbf x)$ (इसका मतलब है कि रैखिक परिवर्तनों का समूह $A$ बहुपद का संरक्षण: $f(A\mathbf x) = f(\mathbf x)$) अक्सर परिमित होता है, जैसे, केवल आइसोमेट्रीज़ $x_1^n + \cdots + x_n^n$ के लिये $n \geq 3$ निर्देशांक समन्वयित कर रहे हैं और निर्देशांक को गुणा कर रहे हैं $n$एकता की जड़ें।
ज्यामिति के लिए मौलिक ऑर्थोगोनलिटी की अवधारणा है, जिसे आप सममित बिलिनियर संबंध बनाना चाहते हैं: $v \perp w$ अगर और केवल अगर $w \perp v$, और अगर $v \perp w$ तथा $v \perp w'$ तब फिर $v \perp (ax + a'w')$ सभी स्केलर के लिए $a$ तथा $a'$। यह बिलिनियर रूपों को देखने का सुझाव देता है$B(v,w)$ एक सदिश स्थान पर और पूछने पर कि कब संबंध $B(v,w) = 0$ (एक सार संस्करण "$v \perp w$") सममित है। यह पता चलता है कि ऐसा होता है यदि और केवल यदि $B$सममित या वैकल्पिक है। पहला मामला विशेषता के बाहर है$2$, द्विघात रूप का अध्ययन करने के लिए निकटता से संबंधित है $Q(v) = B(v,v)$।
सूचकांक संख्या 2 उस तरीके के संबंध में विशेष है जिस तरह से कोणों को दूरियों से परिभाषित किया जा सकता है।
कई संभावित दूरी के कार्य (मानदंड) हैं जिन्हें परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन उनमें से अधिकांश कोणों को सुसंगत तरीके से परिभाषित करने की अनुमति नहीं देते हैं। कोणों को एक आंतरिक उत्पाद (डॉट उत्पाद) से परिभाषित किया जाता है और इसे केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब मान द्विघात अभिव्यक्ति का पालन करता है$$||u+v||^2+||u-v||^2=2||u||^2+2||v||^2$$ किसी भी वैक्टर के लिए $u$ तथा $v$।
एक अलग मानदंड वाले अंतरिक्ष में कम घुमाव होते हैं। एक सर्कल या एक गोले के संभावित घुमावों की केवल एक सीमित संख्या हो सकती है। 3 डी में एक "शंकु"$(x,y,z)$ द्वारा परिभाषित $||x+y||=||z||$ अभी भी विमानों और (nonquadratic) घटता के एक परिवार द्वारा प्रतिच्छेद किया जा सकता है।
सामान्य ज्यामिति कोणों में परिभाषित किया गया है, इसलिए एक द्विघात अभिव्यक्ति है जिसे लंबाई से संतुष्ट होना चाहिए।