सर्ज लैंग का प्रक्षेपण
यह प्रश्न प्रमाण में पहचान के रूप में आइसोमॉर्फिज़्म तक की पहचान का अनुवर्ती है । मैंने सोचा था कि वहां दी जाने वाली हर तरह की मदद से अब मैं लैंग द्वारा दिए गए सबूत के स्केच को उपरोक्त धागे में एक के लिए कोरोलरी ड्यूल के लिए काम कर सकूंगा और एक पहचान के आधार पर उसकी मान्यताओं को खत्म कर सकूंगा। वहाँ भी isomorphism तक । लेकिन मैं नहीं कर सकता। यहाँ समस्या है:
"डिफरेंशियल ऑफ डिफरेंशियल जियोमेट्री" में, 1999, पीपी.18-19, सर्ज लैंग निम्नलिखित परिभाषा देता है:
और फिर उलटा मैपिंग प्रमेय के लिए यह कोरोलरी:
सबसे पहले, कुछ स्पष्टीकरण: आकृतिवाद का अर्थ है $ C^p$ मानचित्र, स्थानीय समरूपता का अर्थ है स्थानीय $ C^p$diffeomorphism, toplinear isomorphism को यहाँ एक रैखिक समरूपता माना जा सकता है। इसके अलावा, मैं समझता हूं$ V_1 \subseteq E_1 $ तथा $ V_2 \subseteq E_2 $, और स्थानीय उलटा एच, जो लैंग को संदर्भित करता है, होना है $ \varphi^{-1} $, और व्युत्पन्न का विलोम नहीं, जैसा कि लैंग के शब्दों का अर्थ है।
फिर, मैं जो नहीं देखता वह कैसे है $ \varphi^{-1} $ कोरोलरी की आवश्यकता को पूरा करता है।
ताकि पहचान खत्म हो सके $ E_2=F $ प्रमाण में, इसके बजाय चलो
$ \varphi: E_1 \times E_2 \rightarrow E_1 \times F $।
फिर परिचय दें $ C^p $ diffeomorphism
$ g: E_1 \times E_2 \rightarrow E_1 \times F: \quad (x_1,x_2) \mapsto (id_1, D_2f(a_1,a_2))[x_1,x_2] $
और प्रतिस्थापित करें $ h:=\varphi^{-1} $ से $ C^p $ diffeomorphism $ h \circ g: E_1 \times E_2 \rightarrow E_1 \times E_2 $। लेकिन इसके साथ, परिणामी नक्शा कैसे होता है$ f \circ h \circ g: E_1 \times E_2 \rightarrow F $ एक साधारण प्रक्षेपण में कारक $ V_1 \times V_2 \rightarrow V_2 $ और एक रैखिक समरूपतावाद है $ V_2 \rightarrow W(0) \subseteq F $ एक खुले पड़ोस डब्ल्यू के साथ?
क्या हम स्थानीय मानचित्र बता सकते हैं $ \varphi^{-1} $स्पष्ट रूप से? क्या यह$ \varphi^{-1}(x_1,y) = (x_1, pr_2 \circ f^{-1}(y)) $ के लिये $ y \in F $?
स्पष्ट रूप से $ \varphi^{-1}(\varphi(x_1,x_2))= \varphi^{-1}(x_1,f(x_1,x_2)) = (x_1,x_2) $। लेकिन दूसरा रास्ता ठीक से हल नहीं होता है:
$ \varphi(\varphi^{-1}(x_1,y))= \varphi(x_1, pr_2 \circ f^{-1}(y)) =(x_1,f(x_1,pr_2 \circ f^{-1}(y)) $।
और वैसे, क्या हम स्थानीय रूप से अक्षम होने के लिए एफ ले सकते हैं? रचना का मूल्यांकन$ f \circ h \circ g $ कहीं नहीं लगता है
$ f(h(g(x_1,x_2))) = f(h(x_1,D_2f(a_1,a_2)[x_2])) = f(x_1,pr_2 \circ f^{-1}(D_2f(a_1,a_2)[x_2])) $।
तो, कैसे आगे बढ़ें? त्रुटि कहां है, या आवश्यक विचार क्या है? मैंने प्रक्षेपण को स्पष्ट रूप से पेश करने के बारे में सोचा$ pr_2: E_1 \times E_2 \rightarrow E_2 \equiv (\{0\} \times E_2) \subseteq (E_1 \times E_2) $ रचना की शुरुआत में: $ f \circ h \circ g \circ pr_2 $, लेकिन दुर्भाग्य से प्रक्षेपण नहीं है $ C^p $-diffeomorphism।
जवाब
इस मामले में खो जाना बहुत आसान है।
अगर हम सबूत के माध्यम से चलते हैं तो फिर से परिभाषित करें $$\varphi:U\to E_1\times F, \quad (x,y)\mapsto (x,f(x,y))$$ यह भी लैंग उस में क्या कर रहा है से थोड़ा अलग है $\varphi$ पूरे स्थान पर परिभाषित नहीं है $E_1\times E_2$, जबसे $f$ खुद को केवल पड़ोस पर परिभाषित किया गया है $U$। हालाँकि यह टिप्पणी गंभीर है।
इसका व्युत्पन्न इस प्रकार है: $$D\varphi(x,y)\ [w_1,w_2]= \bigg[w_1, D_1f(x,y)\ [w_1] + D_2f(x,y)\ [w_2]\bigg]$$
यह उलटा है $(a_1,a_2)$। आप मैट्रिक्स नोटेशन का उपयोग कर सकते हैं, जैसा कि लैंग करता है, इसे सरल बनाने के लिए - इसके लिए ध्यान दें$A, C$ उलटा आपके पास वह है $$\begin{pmatrix}A&0\\ B& C\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}A^{-1}&0\\ -C^{-1}BA^{-1}& C^{-1}\end{pmatrix}$$
उलटा फ़ंक्शन प्रमेय से यह निम्नानुसार है कि कुछ स्थानीय व्युत्क्रम है $$h: V_1\times V_2\to E_1\times E_2$$ साथ में $V_1\subseteq E_1, V_2\subseteq F$ इतना खोल दो $\varphi(a_1,a_2)\in V_1\times V_2$ (तथा $h(V_1\times V_2)\subseteq U$)।
अपने स्थानीय उलट के बाद से $\varphi \circ h=\mathrm{id}_{V_1\times V_2}$। इस रचना को लिखें:$$(\varphi\circ h)(x,y)=(h_1(x,y), f(h(x,y)) ) \overset!= (x,y)$$ अत $f(h(x,y)) = y$, जो वांछित परिणाम था।
मैंने यहां जो किया वह सबूत के माध्यम से जाना और इसे मानने के बिना बयान के प्रमाण के रूप में अनुकूलित करना था $E_2=F$। आपके विचारों को पढ़ने से मुझे लगता है कि आप एक ही काम करना चाहते थे, लेकिन एक अनुकूलन के रूप में आप आइसोमोर्फिज्म में प्लग करना चाहते हैं$D_2f(a_1,a_2)$हर स्तर पर जहाँ पहचान होती है। यह संभव भी है, और शायद इसके अधिक व्यवस्थित, लेकिन इसके खो जाने के लिए आसान है।
ऐसा करने का तीसरा तरीका लैंग द्वारा प्राप्त वास्तविक विवरण का उपयोग करना होगा, जिसका अर्थ है मामला $E_2=F$, और इस बयान के साथ काम केवल मामले को प्राप्त करने के लिए $E_2\neq F$। यहां हमें स्थिति प्राप्त करने के लिए सबसे पहले पहचान का उपयोग करने की आवश्यकता है$E_2=F$, फिर प्रमेय को लागू करें और उसके बाद स्थिति को वापस लाने के लिए पहचान का उपयोग करें $E_2\neq F$।
इस व्यर्थ में $T:F\to E_2$उदाहरण के लिए किसी भी समरूपता हो$T=D_2f(a_1,a_2)^{-1}$। तो अगर$$f:U\to E_1\times F$$ के साथ एक नक्शा है $D_2f(a_1,a_2)$ उलटे विचार करना $\tilde f:=f\circ (\mathrm{id}_{E_1}, T): E_1\times F\to E_1\times F$। यहां हमने संशोधन किया है$f$ आवश्यक फॉर्म का एक नक्शा हो, ध्यान दें $$D_2\tilde f = D_2f(a_1,a_2)\circ T$$ जो कि उलटा है - आप इस प्रकार लेम्मा की स्थिति में हैं $E_2=F$।
प्रमेय लागू करें: एक मौजूद है $\tilde h:V_1\times V_2\to E_1\times F$ ताकि $\tilde f \circ \tilde h$दूसरे घटक के लिए एक प्रक्षेपण है। परंतु:$$\tilde f\circ \tilde h = f\circ ( (\mathrm{id}_{E_1},T)\circ \tilde h)$$ परिभाषित $h:= (\mathrm{id}_{E_1},T)\circ \tilde h$ फिर आपको लेम्मा को ठीक करने की अनुमति देता है जहां आपके पास बस है $E_2\cong F$, बल्कि पूर्ण से $E_2=F$।