सिद्ध है कि एक अनुक्रम $\{a_n\}_n$ द्वारा परिभाषित $a_1=-\frac14$ तथा $-a_{n+1}=\frac{a_na_{n+1}+4}4$ अभिसरण है और इसकी सीमा पाते हैं।
मैं अपने प्रयास और कटौती को सत्यापित करना चाहूंगा। कार्य इस प्रकार है:
सिद्ध है कि एक अनुक्रम $\{a_n\}_n$ द्वारा परिभाषित $a_1=-\frac14$ तथा $$-a_{n+1}=\frac{a_na_{n+1}+4}4$$ अभिसरण है और इसकी सीमा पाते हैं।
अभी तक मेरे पास इतना ही है:
$$-a_{n+1}=\frac{a_na_{n+1}+4}4\iff a_{n+1}(a_n+4)+4=0\tag 1$$
मैंने कुछ शब्दों की गणना की:
$a_2(a_1+4)=-4\implies a_2=-\frac{16}{15}\\a_3(a_2+4)=-4\implies a_3=-\frac{15}{11}\\a_4(a_3+4)=-4\implies a_4=-\frac{44}{29}$
मेंने सोचा $a_n<0\quad\forall n\in\Bbb N$।
फिर, से $(1)$ तथा $a_{n+1}<0$, का अनुसरण करना
$\begin{aligned}a_{n+1}(a_n+4)&=-4\\\implies a_n+4&>0\\\implies a_n&>-4\end{aligned}$
फिर, आगमनात्मक, यदि $\,0>a_1>\ldots>a_{m-1}>a_m$ कुछ के लिए $m\in\Bbb N,$ अपने पास $\begin{aligned}a_{m-1}+4&>a_m+4>0\\\implies \frac1{a_{m-1}+4}&<\frac1{a_m+4}\\\implies \color{red}{a_m}=-\frac4{a_{m-1}+4}&>-\frac4{a_m+4}=\color{red}{a_{m+1}}\end{aligned}$
तो, अनुक्रम $\{a_n\}_n$ एकरस और बंधी हुई है और इसलिए, अभिसारी है।
इसके अलावा, हम एक मजबूत बयान साबित कर सकते हैं:
$a_n>-2\quad\forall n\in\Bbb N$।
$$\begin{aligned}a_n+4&>-2+4=2>0\\\implies -\frac1{a_n+4}&>-\frac12\\\implies a_{n+1}=-\frac4{a_n+4}&>-\frac42=-2\end{aligned}$$
में सीमा प्लगिंग $(1)$, हम पाते हैं $$L^2+4L+4=(L+2)^2=0\iff L=-2$$
इसलिये, $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=-2$।
क्या मेरी मान्यताओं और निष्कर्षों में कोई गलती है और क्या मुझे अलग क्रम में कोई कदम उठाना चाहिए?
मुझे पता है कि मैं साबित नहीं कर सका $a_n<0\quad\forall n$ समारोह के बाद से प्रेरण द्वारा $f:\Bbb R\setminus\{-4\}\to\Bbb R\setminus\{0\}$ द्वारा परिभाषित $$f(x)=-\frac4{x+4}$$ पूरे डोमेन पर मोनोटोनिक नहीं है, बस पर $(-\infty,-4)$ तथा $(-4,+\infty)$ अलग से।
साथ ही, जब मैंने लेखन पर विचार किया $a_n=\frac{x_n}{y_n}$ और फिर $$\begin{aligned}a_{n+1}&=\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}\\&=-\frac4{\frac{x_n}{y_n}+4}\\&=\frac{-4y_n}{x_n+4y_n}\end{aligned}$$ और मान रहा है $x_{n+1}=-4y_n$ तथा $y_{n+1}=x_n+4y_n$, मैंने समरूपता प्राप्त की $$\begin{aligned}y_{n+1}&=-4y_{n-1}+4y_n\\\iff y_{n+1}-4y_n+4y_{n-1}&=0\end{aligned}$$ एक विशिष्ट बहुपद के साथ $$\lambda^2-4\lambda+4=(\lambda-2)^2$$ एक बहु जड़ के साथ, इसलिए मैंने सोचा कि मैं अधूरा करूंगा।
आपका बहुत बहुत धन्यवाद!
जवाब
$$-4A_{n+1}=A_n A_{n+1}+4$$
लश्कर $A_n=\frac{B_{n-1}}{B_n}$ $$-4\frac{B_n}{B_{n+1}}=\frac{B_{n-1}}{B_n} \frac{B_n}{B_{n+1}}+4$$ $$\implies 4B_{n+1}+4 B_n+B_{n-1}=0$$ लश्कर $B_n=t^n$, तब फिर $$\implies 4t+4+t^{-1}\implies t=-1/2.$$ फिर $B_n=(Pn+Q)(-2)^{-n}$, $$ A_n=-2\frac{P(n-1)+Q}{Pn+Q}=-2\frac{n-1+R}{n+R}$$ $$A_1=-1/4 \implies R=1/7.$$ अंत में, हमारे पास इसका समाधान है $(1)$ जैसा $$A_n=\frac{12-14n}{7n+1} \implies \lim_{n \to \infty}A_n=-2.$$