“ $\Sigma_1^1$-पीनो अंकगणित ”- क्या यह नीचे पिन करता है $\mathbb{N}$?
लश्कर $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$दूसरे क्रम के तर्क में सिद्धांत होना आम तौर पर पहले के क्रम Peano axioms का विस्तार करके मनमाना शामिल करना है$\Sigma^1_1$प्रेरण योजना में सूत्र। मेरा सवाल यह है कि:
कर देता है $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ कोई गैरमानक मॉडल है?
ध्यान दें कि का एक मॉडल $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ का एक मॉडल है $\mathsf{PA}$ नहीं $\Sigma^1_1$-अयोग्य कटौती।
अगर हम प्रतिस्थापित करते हैं $\Sigma^1_1$ साथ से $\Pi^1_1$ मॉडल के मानक तत्वों के सेट के बाद से उत्तर तुरंत नकारात्मक है $\mathsf{PA}$ है $\Pi^1_1$। हालाँकि, ऐसा कुछ भी काम नहीं करता है$\Sigma^1_1$ (हालांकि मुझे आसानी से कुछ स्पष्ट याद आ रहा है)।
एक त्वरित अवलोकन यह है कि $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$सही प्रथम-क्रम अंकगणित में प्रवेश करता है। पहले क्रम का फार्मूला दिया$\varphi(x)$, चलो $\hat{\varphi}(x)$ हो $\Sigma^1_1$ सूत्र "इसमें एक कट युक्त है $x$ ऐसा है कि कट का हर तत्व संतुष्ट करता है $\varphi$।" अगर $M\models\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ हम तुच्छ है $\hat{\varphi}^M\in\{\emptyset,M\}$; की जटिलता पर प्रेरण द्वारा$\varphi$ हम दिखा सकते हैं कि अगर हर मानक प्राकृतिक संख्या संतुष्ट करता है $\varphi$ तब फिर $0\in\hat{\varphi}^M$ और इसके परिणामस्वरूप $M\models\forall x\varphi(x)$ (जो तब देता है $M\equiv\mathbb{N}$) का है। हालाँकि, मैं यह नहीं देखता कि कैसे इसका उपयोग स्पष्टता पाने के लिए किया जाए। वास्तव में, जहां तक मुझे पता है कि यह संभव है कि हर nontrivial ultrapower की तरह$\mathbb{N}$ संतुष्ट $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$। (ध्यान दें कि$\Sigma^1_1$अल्ट्रापॉवर लेने के तहत वाक्यों को संरक्षित किया जाता है; हालांकि, एक के लिए प्रेरण का एक उदाहरण है$\Sigma^1_1$ सूत्र है $\Sigma^1_1\vee\Pi^1_1$ तथा $\Pi^1_1$ अल्ट्रापॉवर लेने के तहत वाक्यों को संरक्षित नहीं किया जाता है, इसलिए यह मदद नहीं करता है।)
जवाब
यदि आप अपनी अनुमति देते हैं $\Sigma^1_1$ सूत्रों का मानदंड है, तो पीए$_{\Sigma^1_1}$केवल मानक मॉडल है। इसे साबित करने के लिए, का उपयोग करें$\Pi^1_1$ एक उत्पादन करने के लिए मानकता की परिभाषा $\Sigma^1_1$ सूत्र $\sigma(x,y)$ कहते हुए की $x<y$ तथा $y-x$ मानक नहीं है, अर्थात $x$ बहुत नीचे है $y$। यह दिखाना आसान है$\sigma(x,y)$ का तात्पर्य $\sigma(x+1,y)$। तो, द्वारा$\Sigma^1_1$ प्रेरण, अगर $\sigma(0,y)$ तब फिर $\forall x\,\sigma(x,y)$ खास तरीके से, $\sigma(y,y)$, जो बेतुका है। इसलिए$\neg\sigma(0,y)$। लेकिन इसका मतलब है कि$y$ मानक है।