सिक्का उछालते समय खेल का अपेक्षित मूल्य

Aug 18 2020

आप $ 10, 000 $ से शुरू करते हैं । आप एक उचित सिक्का पलटें।

  • यदि आपको सिर मिलते हैं, तो आपको भुगतान किया जाता है $ $ $1$
  • यदि आपको पूंछ मिलती है, तो आप अपने दोस्त को अपने वर्तमान पैसे का आधा भुगतान करते हैं।

आपके पास धनराशि की अपेक्षित राशि क्या है $n$ दौर।

तो चलो प्रारंभिक राशि को परिभाषित करते हैं $x_{0} = 10000$। फिर दौर 1 में, हम उम्मीद करते हैं$$ x_{1} = {1 \over 2}\left({x \over 2} + x + 1\right) $$ नोट राउंड में $1$, हम कर सकते थे $2$ के लिए संभव मान $x_{1}$$5000$ तथा $10,001$। इसलिए दौर में$2$, हम कर सकते थे $4$संभावित मान। तो स्पष्ट रूप से गोल$n$, अपने पास $2^{n}$ संभव मूल्यों के साथ सभी संभव मान।

अब यह उन हिस्सों में से एक है जो मुझे लगता है कि मैं सही तरीके से कर रहा हूं, लेकिन यह नहीं जानता कि कैसे औचित्य करना है। चीजों को सरल बनाने के लिए, मैं यह दावा कर रहा हूं कि होने के बजाय$2^{n}$ गोल में संभव मान $n$, हमारे पास एक एकल मूल्य है, जो औसत है $2^{n}$मान। इसलिए, उदाहरण के लिए, मैं उदाहरण को ध्वस्त कर सकता हूं$2$ दौर के लिए मूल्य $1$ में $\left(10001 + 5000\right)/2 = 7500.5$। फिर ऐसा करने से, यह स्पष्ट हो जाता है कि हमारी पुनरावृत्ति है

$$ x_{n} = {1 \over 2}\left({x_{n - 1} \over 2} + x_{n - 1} + 1\right) $$

  1. मेरा पहला सवाल है: मैं "ढहने" को कैसे सही ठहरा सकता हूं? यदि आप कुछ शब्द लिखते हैं, तो आप देखेंगे$$ x_{n} = 0.75^{n}\, x_{0} + \sum_{i = 0}^{n - 1}0.75^{i} \times 0.5 $$
  2. मेरा दूसरा सवाल यह है कि क्या मैं यहां हूं, या मुझे यह साबित करने की जरूरत है कि क्या सरलीकृत है $x_{n}$ यह केवल पर निर्भर करता है $x_{0}$प्रेरण द्वारा धारण? मुझे यह फॉर्मूला कुछ वस्तुओं को लिखकर, और चीजों को देखने / प्रेरित करने के लिए मिला है क्योंकि बहुत स्पष्ट पैटर्न है, इसलिए मुझे ऐसा लगता है कि यह पर्याप्त प्रमाण है?

जवाब

3 angryavian Aug 18 2020 at 07:17

आपका विचार सही है। इसे सही ठहराने के लिए, आप टॉवर शासन से अपील कर सकते हैं , क्योंकि सशर्त वितरण$X_n$ दिया हुआ $X_{n-1}$ आपको दिया जाता है। $$E[X_n] = E[E[X_n \mid X_{n-1}]] = E[0.5(X_{n-1}/2 + X_{n-1} + 1)] = \frac{3}{4} E[X_{n-1}] + \frac{1}{2}.$$