सीमा का मूल्यांकन करें $\lim_{n \to \infty} \left(3^n+1\right)^{\frac1n} $
आप निचोड़ / सैंडविच प्रमेय का उपयोग करके इस अनुक्रम सीमा का मूल्यांकन कैसे करते हैं? $$\lim_{n \to \infty} \left(3^n+1\right)^{\frac1n} $$
मैं वास्तव में नहीं जानता कि कहाँ से शुरू करें। मैंने इस तथ्य का उपयोग करने की कोशिश की है कि$\lim_{n \to \infty} \left(3^n\right)^{\frac1n} = 3$ (जो सही उत्तर है) लेकिन मुझे नहीं पता कि वहाँ से कहाँ जाना है।
धन्यवाद!
जवाब
हमारे पास वह है
$$3=(3^n)^{1/n}\le (3^n+1)^{1/n}\le (3^n+3^n)^{1/n}=3\cdot2^\frac1n$$
फिर निचोड़ प्रमेय द्वारा निष्कर्ष निकालना।
आप उपयोग कर सकते हैं $3=(3^n)^{1/n} \leq(3^n + 1)^{1/n} \leq (3^n+3^n)^{1/n}=2^{1/n}\cdot 3$
लघुगणक के साथ: के रूप में अभिव्यक्ति को फिर से लिखना $$ e^{\frac{1}{n}(\log 3^n + \log (1+\frac{1}{3^n})} $$ पहला कार्यकाल है $3$। दूसरा आसान सीमा है:$$ 0<\log (1+\frac{1}{3^n})<\log 2 $$ और इसीलिए, $$ 1<e^{\frac{1}{n}\log (1+\frac{1}{3^n})}<e^{\frac{\log 2}{n}} \to_n 1 $$
थोड़ा अलग तरीका अपना रहा है $3^n$ से बाहर $(3^n+1)^{1/n}$, अर्थात् $$ (3^n+1)^{1/n}=3(1+3^{-n})^{1/n} $$ अब ध्यान दें $1\leqslant 1+3^{-n}\leqslant 2$ हर एक के लिए $n\in \mathbb N $, इसलिए हम जिस असमानता पर पहुंचते हैं, उसे सीमित कर रहे हैं $$ 1\leqslant \lim_{n\to\infty}(1+3^{-n})^{1/n}\leqslant \lim_{n\to\infty}2^{1/n}=1 $$ इसलिए $$ \lim_{n\to\infty}(3^n+1)^{1/n}=\lim_{n\to\infty}3(1+3^{-n})^{1/n}=3 $$
विचार करें $y = (3^n + 1)^\frac{1}{n}$ अब दोनों पक्षों पर लघुगणक को प्रभावित करते हैं:$$\ln{y} = \frac{\ln{(3^n + 1)}}{n}$$ जाहिर है अगर $n$ अनंत तक जाता है हम लघुगणक के अंदर 1 छोड़ सकते हैं तब हम आसानी से प्राप्त कर सकते हैं: $\ln{y} = \ln 3$ कब $n$अनंत तक जाता है। तो उत्तर है:$$y = 3$$
कहाँ पे $n$ पर्याप्त रूप से बड़ा है $3^n$ बहुत अधिक है कि $1$, जो उपेक्षित किया जा सकता है (हम यह नोटिस कर सकते हैं $100000000000000000000$ तथा $100000000000000000001$ "लगभग" वही हैं)।
इसलिए $3^n+1 \sim_{n \to \infty} 3^n$ इस तथ्य के आधार पर कि $\lim_{n \to \infty} \frac{3^n+1}{3^n}=1$ तेजी से और बाकी आसानी से किया जा सकता है।
$$ \displaystyle\left(3^{n} + 1\right)^{1/n} = 3\left(1 + {1 \over 3^{n}}\right)^{1/n} = 3\left[\left(1 + {1 \over 3^{n}}\right)^{3^{\large n}}\right]^{1/\left(3^{\large n}n\right)} \,\,\,\stackrel{\mathrm{as}\ n\ \to\ \infty}{\to}\,\,\, \bbox[#ffd,10px,border:1px groove navy]{\large 3} $$