स्केलर और वेक्टर के बीच गुणा करने का सही तरीका क्या है?
मैट्रिक्स गुणन का नियम बताता है कि, बाएं ऑपरेंड के स्तंभों की संख्या सही ऑपरेंड की पंक्तियों की संख्या के बराबर होती है।
$M*N$ यदि M के पास है $n$ कॉलम और N होना चाहिए $n$ पंक्तियाँ।
इस सम्मेलन के बाद, वेक्टर और स्केलर के बीच गुणा लिखने का नैट्रल तरीका वेक्टर को बाईं ओर रखना है --- स्केलर को 1 बाय 1 मैट्रिक्स के रूप में लेना।
हालाँकि, मैंने पाया कि, अक्सर लोग नियम से ऊपर नहीं आते हैं: उदाहरण के रूप में ईजन अपघटन का उपयोग करना:
ईजन अपघटन की विकी
$A\upsilon=\lambda\upsilon$
क्या हमें गाइड करने के लिए कोई नियम है कि हमें बाईं ओर स्केलर लगाना चाहिए?
जवाब
स्केलर गुणा और मैट्रिक्स गुणन 2 अलग-अलग ऑपरेशन हैं। भले ही उनके पास एक ही शब्द "गुणन" है - वे पूरी तरह से अलग हैं।
मैट्रिक्स गुणन विनिमेय नहीं है - तो आप है सही पक्ष पर सही मैट्रिक्स डाल करने के लिए, यह सम्मेलनों के बारे में नहीं है। स्केलर कम्यूटेटिव हैं और आप उन्हें दोनों तरफ लगा सकते हैं।
मुझे नहीं लगता कि प्रति सेशन एक लिखित सम्मेलन है - लोगों को अन्य शर्तों से पहले गुणांक डालने की आदत है। यदि आप दाईं ओर एक अदिश राशि रखते हैं, तो आप जिस क्षेत्र में काम कर रहे हैं, उसके आधार पर कुछ लोग आपके भावों को पढ़ सकते हैं और सोच सकते हैं कि "ह्यूग, रुको, क्या हम गैर-संचारी बीजगणित के साथ काम कर रहे हैं?" क्षण पर। इसके अलावा कुछ लोग सोच सकते हैं "ह्यूग, क्या यह एक अदिश राशि है या मैं कुछ याद कर रहा हूं?"। यह एक पाठक के लिए कुछ अतिरिक्त मस्तिष्क-चक्र ले सकता है, इसलिए मैं स्केलर को बाईं ओर रखूंगा, लेकिन अगर आप उन्हें दूसरी तरफ रखते हैं तो शायद यह त्रासदी नहीं होगी।
जबकि इसका उपयोग करके स्केलर गुणन की नकल करना संभव है$1\times n$ या $n \times 1$मेट्रिसेस - यही नहीं इसके सार में है। फिर से - ये अलग-अलग ऑपरेशन हैं और उनमें से केवल एक ही सराहनीय है।
यह सिर्फ उल्लेखनीय सम्मेलनों का विषय है। आमतौर पर एक सदिश स्थान के स्वयंसिद्ध रूप में स्केलर गुणन लिखकर तैयार किया जाता है$$\lambda \cdot v$$ कहां है $v \in V$ तथा $\lambda$ मैदान मैदान के अंतर्गत आता है $K$। कारण यह है कि हम आमतौर पर उत्पाद में समझते हैं$\mu \cdot \lambda$ के तत्वों का $K$हमारा पहला कारक है$\mu$और एक दूसरा कारक$\lambda$। एक क्षेत्र में (जिसका गुणन गुणात्मक है) कारकों का क्रम अप्रासंगिक (क्योंकि) प्रतीत होता है$\mu \cdot \lambda = \lambda \cdot \mu$), लेकिन एक अंगूठी में $R$(जिसका गुणन सामान्य गैर-कम्यूटेटिव में है) आदेश आवश्यक है। यह रिंग के उदाहरण के लिए लागू होता है$n\times n$एक क्षेत्र में -matrices। एक वेक्टर अंतरिक्ष के स्वयंसिद्धों में से एक है$$(\mu \cdot \lambda) \cdot v = \mu \cdot (\lambda \cdot v)$$ जो दाएं से स्केलर गुणा के माध्यम से लिखे गए एक ही सूत्र की तुलना में बहुत आसान है $$v \cdot (\mu \cdot \lambda) = (v \cdot \lambda) \cdot \mu .$$ ठीक है, एक क्षेत्र के लिए इससे बहुत फर्क नहीं पड़ता क्योंकि यह वैसा ही कहता है $$v \cdot (\lambda \cdot \mu) = (v \cdot \lambda) \cdot \mu .$$लेकिन ध्यान दें कि एक वेक्टर स्पेस की अवधारणा को रिंग के ऊपर एक मॉड्यूल के सामान्यीकृत किया जा सकता है$R$और यहाँ आदेश से फर्क पड़ता है। वास्तव में, एक बाएं और पंथ के बीच अंतर करता है$R$-मॉड्यूल। बाएं के लिए$R$-मॉड्यूल्स एक आमतौर पर स्केलर म्यूटिलेशन लिखता है $\lambda \cdot v$, सही के लिए $R$-मॉड्यूल्स के रूप में $v \cdot \lambda$। देखें यहाँ ।
अब हम आपके प्रश्न के मूल में आते हैं। मैट्रिक्स उत्पाद$A \bullet B$ आमतौर पर एक के लिए परिभाषित किया गया है $m\times n$ आव्यूह $A$ और एक $n\times p$ आव्यूह $B$, यानी हमें आवश्यकता है कि स्तंभों की संख्या $A$ की पंक्तियों की संख्या के बराबर है $B$। जैसा कि आप कहते हैं, एक स्केलर$\lambda$ माना जा सकता है $1 \times 1$ आव्यूह $(\lambda)$। इस प्रकार निम्नलिखित दो भाव परिभाषित हैं:$$(\lambda) \bullet A \text{ for } 1 \times n \text{ matrices } A \tag{1} $$ $$A \bullet (\lambda) \text{ for } n \times 1 \text{ matrices } A \tag{2} $$ में $(1)$ $A$एक पंक्ति वेक्टर कहा जाता है , में$(2)$एक कॉलम वेक्टर ।
इसलिए यह आपके पसंदीदा अंकन पर निर्भर करता है: यदि आप के तत्वों का संबंध है $K^n$ पंक्ति वैक्टर के रूप में, आपको उपयोग करना होगा $(1)$, यदि आप उन्हें कॉलम वैक्टर मानते हैं, तो आपको लिखना होगा $(2)$।
वैसे भी, यह केवल तभी प्रासंगिक है जब आप स्केलर उत्पाद को समझने के लिए हर तरह से जोर देते हैं$\lambda$ तथा $A$एक मैट्रिक्स उत्पाद के रूप में। आमतौर पर के लिए$A = (a_{ij})$ एक बस परिभाषित करता है $$ \lambda \cdot (a_{ij}) = (\lambda \cdot a_{ij}) .$$ ऐसा करने से कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप तत्वों का संबंध रखते हैं $K^n$ पंक्ति वैक्टर के रूप में या स्तंभ वैक्टर के रूप में।