स्कोर असाइन करने के तरीकों की संख्या

Question

एक परीक्षण से मिलकर $12$ सवालों के साथ रन बनाए हैं $200$अंक। कितने तरीके से कर सकते हैं$200$ यदि प्रत्येक प्रश्न कम से कम मूल्य का होना चाहिए तो अंक निर्धारित किए जाएंगे $10$ अंक लेकिन से अधिक नहीं $25$ और स्कोर का एक से अधिक होना चाहिए $5$?

मैं पुनरावृत्ति के साथ एक संभावित संयोजन के बारे में सोच रहा हूं। $15$ अंक ($80/5$) से बाहर $12$प्रशन। लेकिन मुझे नहीं पता कि कैसे अधिकतम प्रतिबंध लागू किया जाए$25$।$3$ प्रत्येक प्रश्न के लिए $\frac{25-10}{3}$।

लेकिन यह पुनरावृत्ति के साथ एक संयोजन नहीं हो सकता है, जैसा कि मैंने कथन की व्याख्या इस अर्थ के रूप में की है कि यह कोई फर्क नहीं पड़ता अगर पहला प्रश्न इसके लायक है $30$ अंक और दूसरा मूल्य है $10$, जो दूसरा तरीका है। मैं समझता हूं कि यह विशिष्ट उदाहरण एक अनूठा तरीका है, है ना?

Answer 1

चूंकि प्रत्येक स्कोर का एक से अधिक होना चाहिए $5$, हम के रूप में अच्छी तरह से सभी बिंदु मूल्यों से विभाजित कर सकते हैं $5$ और है $12$ कुल के लायक सवाल $40$ अंक, प्रत्येक प्रश्न कम से कम मूल्य का है $2$ और सबसे ज्यादा $5$अंक। अगर$p_k$ का मूल्य बिंदु है $k$-तब सवाल, हम समाधान की संख्या के लिए देख रहे हैं

$$\sum_{k=1}^{12}p_k=40\tag{1}$$

पूर्णांकों में $p_k$ इस शर्त को पूरा करना $2\le p_k\le 5$ के लिये $k=1,\ldots,12$। चलो$x_k=p_k-2$ के लिये $k=1,\ldots,12$; तो समाधान की संख्या$(1)$ उल्लिखित प्रतिबंध के अधीन समाधानों की संख्या के समान है

$$\sum_{k=1}^{12}x_k=16$$

गैर-नकारात्मक पूर्णांकों में $x_k$ इस शर्त को पूरा करना $x_k\le 3$ के लिये $k=1,\ldots,12$। यदि यह संख्या पर ऊपरी सीमा के लिए नहीं थे$x_k$, यह एक मानक सितारों और सलाखों की समस्या होगी, और वहाँ होगा$\binom{16+12-1}{12-1}=\binom{27}{11}$उनमें से। दुर्भाग्य से, उन समाधानों में से कई एक या अधिक संख्याओं पर ऊपरी सीमा का उल्लंघन करते हैं$x_k$, तोह फिर $\binom{27}{11}$एक महत्वपूर्ण overestimate है। इसे ठीक करने के लिए आपको समावेश-बहिष्करण गणना करने की आवश्यकता होगी। इस सवाल के मेरे जवाब में ऐसी गणना शामिल है; अपनी समस्या के समाधान को पूरा करने के लिए इसे एक मॉडल के रूप में उपयोग करने का प्रयास करें।

Answer 2

चूंकि सभी स्कोर एक से अधिक हैं $5$ हम इसके द्वारा विभाजित कर सकते हैं, जिसके परिणामस्वरूप $40$ कुल अंक और प्रश्न अंक $2$ सेवा मेरे $5$अंक। चूंकि प्रत्येक प्रश्न कम से कम होना चाहिए$2$ अंक, हम प्रश्नों को पकड़ के रूप में सोच सकते हैं $24$ "बेस पॉइंट्स", इस समस्या को छोड़कर कि वितरण के कितने तरीके हैं $16$ "अतिरिक्त अंक" $12$ से अधिक नहीं होने वाले प्रश्न $3$ उनमें से।

जनरेटिंग फंक्शन समस्या के रूप में, यह है $x^{16}$ का गुणांक $(1+x+x^2+x^3)^{12}$। और जवाब निकला$1501566$।