Spivak पथरी से Riemann Sums पर प्रमाण में चरण।

Question

मैं Spivak के पथरी (2008) में एक प्रमाण के साथ काम कर रहा था - पृष्ठ 279 । निम्नलिखित उस प्रमाण के हिस्से का एक स्क्रीनशॉट है जिस पर मुझे परेशानी हो रही है।

मेरा सवाल सही ढंग से १,२, और ३ के संयोजन के काम में है। मैं यहां पहुंचना चाहता हूं

$$\bigg|\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x)dx \bigg| < \epsilon \\ \Rightarrow\ -\epsilon < \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x)dx < \epsilon$$

समीकरण 2 के इर्द-गिर्द घूमते हुए, मुझे कुछ रूप मिलेगा

$$ 0 \leq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - L(f,P) \leq U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$$

उसी के लिए होता है $\int_{a}^{b}f(x) dx$। अब इस विचार का उपयोग करते हुए मुझे फार्म का कुछ मिलता है:

$$\epsilon > U(f,P) - L(f,P) \geq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - L(f,P) \geq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) \geq ?? $$

यहाँ मेरा मुद्दा है, मैं यह सुनिश्चित करने के लिए नहीं कह सकता $\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) \geq 0$। मेरे पास कुछ भी नहीं है जो इस तरह का हो सकता है और इसके परिणामस्वरूप मैं ऐसा नहीं कर सकता$\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) > -\epsilon$। जो मुझे सबूत के इस हिस्से को खत्म करने की अनुमति देगा। अनुभव से मुझे पता है कि यह एक मामूली बीजीय चीज है जो मुझे याद आ रही है, लेकिन मुझे लगता है कि मैं मानसिक रूप से थका हुआ हूं और इसे नहीं देख रहा हूं। कुछ सहायता अच्छी होगी।

Answer 1

संकेत : समीकरण को गुणा करें$(3)$ द्वारा $-1$ और समीकरण में जोड़ें $(2)$ लेना:
$-(U(f,p) -L(f,P))\leq -\int_{a}^{b}f(x)dx+\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) \leq U(f,P) - L(f,P) $
दूसरे शब्दों में, हमारे पास है $-\epsilon\lt y\lt \epsilon$, जहां $|y|\lt \epsilon$

Answer 2

$(2)$ तथा $(3)$ मतलब है कि योग और अभिन्न दोनों के बीच है $L(f,P)$ तथा $U(f,P)$ इसलिए उनके बीच पूर्ण अंतर से अधिक नहीं हो सकता है $U(f,P)-L(f,P)$ और द्वारा $(1)$ यह बाद वाली अभिव्यक्ति की तुलना में कम है $\epsilon.$