श्रृंखला का योग ज्ञात कीजिए: $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

Aug 17 2020

मुझे श्रृंखला सिद्धांत से कुछ परेशानी है। विशिष्ट प्रश्न इस प्रकार हैं: \ start {समीकरण} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ {2n}} {(2n)!} \ End {समीकरण} मेरा विचार सिर्फ इस तरह है! :

जबसे $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$, \begin{align} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{2^nn!}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{x^2}{2})^n}{n!}\\ &=e^{\frac{x^2}{2}} \end{align} हालांकि, इसका उत्तर है कोश $x$। मुख्य विचार की शक्ति श्रृंखला पर आधारित है$e^x$ तथा $e^{–x}$। फिर उन्हें एक साथ जोड़ें। लेकिन मुझे अभी भी समझ नहीं आया कि मैंने क्या गलत किया।

क्या कोई मेरी यह मदद कर सकता है। धन्यवाद।

जवाब

3 J.W.Tanner Aug 17 2020 at 11:51

आपने जो गलत किया वह बदल रहा था $(2n)!$ सेवा $2^nn!$

आप सही थे कि $e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!}$,

इसलिए $\cosh x = \dfrac{e^x+e^{-x}}2=\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-x)^{n}}{n!}}2=\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}\left(1+(-1)^n\right) }2$

$\dfrac{1+(-1)^n}2$ है $0$ कब $n$ अजीब है और $1$ कब $n$ भी है, तो यह बन जाता है $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n}}{(2n)!} . $

2 Alearner Aug 17 2020 at 11:59

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} $$ $$ =\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 \cdot x^{2n}}{(2n)!} -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ x^{2n+1}}{(2n+1)!} $$ $$ =\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n)!} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^{n}}{(n)!} $$ $$ = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} $$ $$= cosh(x) $$