सूक्ति में जटिल मान
मैं खुद को शिक्षित करने पर काम कर रहा हूं कि एसडीआर और जीएनयू रेडियो कैसे काम करता है।
हेट्रोडाइनिंग प्रदर्शित करने के लिए, मैंने एक फ्लो-ग्राफ को 2 सिग्नल जनरेटर, एक मल्टीप्ली ब्लॉक, और क्यूटी जीयूआई फ्रीक्वेंसी सिंक से सेट किया। जनरेटर मल्टीप्ली ब्लॉक इनपुट से जुड़े होते हैं, और मल्टीप्ली ब्लॉक आउटपुट फ्रीक सिंक से कनेक्ट होता है, दो जेनरेटर सिग्नल को हेट्रोडाइन करने के लिए।
जनरेटर की आवृत्ति एक स्लाइडर से जुड़ी होती है। एक जनरेटर स्लाइडर_वल्यू है, दूसरा स्लाइडर_वल्यू + 2000 है। जनरेटर दोनों एक कोसिन तरंग का उत्पादन कर रहे हैं।
फ्लोट करने के लिए सभी इनपुट सेट करते समय, जैसा कि मैं स्लाइडर को स्थानांतरित करता हूं मुझे वे परिणाम मिलते हैं जिनकी मुझे उम्मीद थी:
मुझे एक चोटी हमेशा 2000 हर्ट्ज पर दिखाई देती है: स्लाइडर_वल्यू - स्लाइडर_वल्यू + 2000 = 2000। यानी, अंतर संकेत।
मैं जनरेटर आउटपुट के योग में एक और चोटी देखता हूं: स्लाइडर_वल्यू + स्लाइडर_वल्यू + 2000 = (2 * स्लाइडर_वल्यू) + 2000।
हालांकि, यदि मैं सभी इनपुट और आउटपुट को जटिल में बदल देता हूं, तो मुझे केवल एक चोटी दिखाई देती है जो मूल्यों के योग में है। मुझे अंतर पर एक चोटी दिखाई नहीं देती है, अर्थात, 2000 में कुछ भी नहीं (सिवाय इसके जब स्लाइडर_वायु = 0)।
क्या कोई मुझे समझा सकता है कि जटिल संकेतों को गुणा करते समय मुझे अंतर संकेत क्यों नहीं दिखता है?
जवाब
इस तरह से जटिल संकेतों का गणित काम करता है।
प्रमाण यूलर के सूत्र से शुरू होता है :
$$ e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi \tag 1 $$
के बजाय सिग्नल प्रोसेसिंग के लिए $\varphi$, हम आम तौर पर कोणीय आवृत्ति पर कुछ sinusoidal दोलन के बारे में सोच रहे हैं $\omega$ वह समय के साथ बदलता रहता है $t$, जिसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं:
$$ e^{i\omega t} \tag 2 $$
साइन जनरेटर मोड में और एक जटिल आउटपुट के साथ सिग्नल जनरेटर ब्लॉक आउटपुट क्या होता है। ऊपर (1) आप देख सकते हैं कि दोनों वास्तविक और काल्पनिक भाग कोणीय आवृत्ति पर साइनसोइड हैं$\omega$, बस चरण में 90 डिग्री ऑफसेट।
जब आप इन जटिल साइनसोइड्स में से दो को एक साथ आवृत्ति पर गुणा करते हैं $\omega_1$ तथा $\omega_2$, आपको मिला:
$$ e^{i\omega_1 t} e^{i\omega_2 t} \tag 3 $$
जो सरल करता है
$$ e^{i (\omega_1 + \omega_2) t} \tag 4 $$
जो, फिर से (1), आवृत्ति पर एक एकल जटिल साइनसॉइड है $\omega_1 + \omega_2$। कोई अंतर शब्द नहीं है।
इस गणित का एक परिणाम है $\omega$नकारात्मक हो सकता है। यही कारण है कि GNU रेडियो में अगर आपके पास 48 kHz के सैंपल दर पर एक जटिल स्ट्रीम है, जो 96 kHz बैंडविड्थ का प्रतिनिधित्व कर सकता है: -48 kHz से 48 kHz तक।
जब वास्तविक-वास्तविक कार्यों को हेट्रोडाइनिंग किया जाता है, तो योग और अंतर शब्द, क्योंकि एक वास्तविक फ़ंक्शन स्पष्ट रूप से सकारात्मक और नकारात्मक आवृत्तियों का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है, लेकिन गणितीय रूप से, वे अभी भी वहां हैं।
कैसे? आवृत्तियों पर दो जटिल साइनसोइड्स पर विचार करें$\omega$ तथा $-\omega$, एक साथ अभिव्यक्त:
$$ e^{i\omega t} + e^{-i\omega t} = \cos \omega t + i \sin \omega t + \cos -\omega t + i \sin -\omega t \tag 5 $$
त्रिकोणमितीय पहचान को ध्यान में रखते हुए:
$$ \cos x = \cos −x \\ \sin x + \sin -x = 0 \tag 6 $$
अब (5) को सरल बनाता है:
$$ e^{i\omega t} + e^{-i\omega t} = 2\cos(\omega t) \tag 7 $$
जिसका मतलब है कि जब आप एक संकेत को दो वास्तविक साइनसोइड्स से गुणा करते हैं:
$$ \cos \omega_1 t \times \cos \omega_2 t \tag 8 $$
तब (7) और 2 के कारक की उपेक्षा (क्योंकि यह केवल परिणाम के आयाम को बदलता है, और यह महत्वपूर्ण नहीं है), समकक्ष आप कर रहे हैं:
$$ (e^{i\omega_1 t} + e^{-i\omega_1 t}) (e^{i\omega_2 t} + e^{-i\omega_2 t}) \\ = (e^{-i(\omega_1-\omega_2)} + e^{i(\omega_1-\omega_2)}) + (e^{-i(\omega_1+\omega_2)} + e^{i(\omega_1+\omega_2)}) \tag 9 $$
बाईं ओर आवृत्तियों और दाईं ओर योग का अंतर नोटिस करें। प्रत्येक समूह एक ही आवृत्ति के सकारात्मक और नकारात्मक बदलावों से युक्त होता है, जिसे (7) हम जानते हैं कि यह केवल एक वास्तविक मूल्य वाले साइनसोइड को सरल बनाता है। तो (9) आगे सरलीकृत करता है (फिर से उस कारक की उपेक्षा 2):
$$ \cos((\omega_1-\omega_2) t) + \cos((\omega_1+\omega_2) t) \tag {10} $$
और वहाँ आप अपने सामान्य वास्तविक मूल्य समारोह विषम समीकरण है।
इस प्रकार, किसी भी वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन में सकारात्मक और नकारात्मक दोनों आवृत्तियाँ होती हैं, लेकिन नकारात्मक आवृत्तियाँ सकारात्मक लोगों का सिर्फ एक "दर्पण" होती हैं। यह उन नकारात्मक आवृत्तियों के कारण है जो एलएसबी डिमॉड्यूलेशन स्पेक्ट्रम को "फ्लिप" कर सकते हैं , और यह नकारात्मक आवृत्तियां हैं जो वास्तविक-महत्वपूर्ण कार्यों को हेट्रोडाइन करने पर अंतर शब्द का कारण बनती हैं।