तंतुओं के आयाम पर एक प्रमेय के प्रमाण से संबंधित संदेह।
- $f:X \rightarrow Y$ प्रत्येक के लिए ऐसी किस्मों का आकारिकी होना $p\in Y,\, \dim f^{-1}(p) = n$। फिर$\dim X=\dim Y+n$। इस प्रमेय के प्रमाण में यदि मैं प्रतिस्थापित करता हूं$X$एफिन ओपन सेट द्वारा फाइबर का आयाम समान क्यों होता है। कृपया समझाएँ।
- $f:X \rightarrow Y$ इस तरह के प्रत्येक के लिए affine किस्मों के एक रूपवाद हो $p\in W,\, \dim f^{-1}(p) =n$ कुछ घने उपसमुच्चय के लिए $W$ का $Y$। फिर$\dim X= \dim Y+n$। मैंने इसका एक प्रमाण लिखने की कोशिश की है जो इस प्रकार है:
पर प्रेरण द्वारा सबूत $\dim Y$। कब साबित करना है कुछ नहीं$\dim Y=0$। चलो$X \subseteq A^{r}, Y \subseteq A^{m}$ उप-केंद्रों को बंद किया जाए। $f=(f_{1},...,f_{m})$, कहां है $f_{i} \in K[x_{1},...,x_{r}]$।
चलो $F \in K[x_{1},...,x_{m}] \setminus I(Y)$। $\quad Y^{'}=Y \cap Z(F)$।
$X^{'}=f^{-1}(Y^{'})=X \cap Z(F(f_{1},...,f_{m}))$। $\quad F(f_{1},...,f_{m}) \in K[x_{1},...,x_{r}] \setminus I(X)$।
$\widetilde{X}$ का एक अप्रासंगिक घटक हो $X^{'}$। $\quad \dim \widetilde{X}=\dim X-1$।
एक इरेड्यूसबल घटक मौजूद है $\widetilde{Y}$ का $Y^{'}$ ऐसा है कि $\quad f(\widetilde{X}) \subseteq \widetilde{Y}$। $\quad \dim \widetilde{Y}=\dim Y-1$।
विचार करें $f:\widetilde{X} \rightarrow \widetilde{Y}$।
मैं कैसे निष्कर्ष निकाल सकता हूं कि फाइबर समान है? कृपया इसका समाधान करें।
जवाब
आइए, यहां इर्रिड्यूसबिलिटी मानें।
चूंकि एफाइन ओपन घने होते हैं, एक एफाइन ओपन तक सीमित होने से, आप या तो पूरी तरह से एक फाइबर को याद करते हैं, या एक फाइबर बस खुद का एक और घना सबसेट बन जाता है (इसलिए आयाम नहीं बदलता है)। मन में एक तस्वीर के लिए, तुच्छ प्रक्षेपण पर विचार करें$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1\to\mathbb{P}^1$, जहां प्रत्येक फाइबर की एक प्रति है $\mathbb{P}^1$। यदि आप एक एफिन खुले में प्रतिबंधित करते हैं$\mathbb{A}^1\times\mathbb{A}^1$फाइबर बन जाता है $\mathbb{A}^1$ या खाली (अनंत से अधिक)।
सहज रूप से, यदि आप बीजगणित के नक्शे पर विचार करते हैं $f^*:B=\Gamma(Y)\to A=\Gamma(X)$, फिर किसी भी सामान्य अधिकतम आदर्श $\mathfrak{m}$ कुछ प्रमुख आदर्श के लिए मैप किया गया है $P$ जिसे एक श्रृंखला तक बढ़ाया जा सकता है $P\subset P_1\subset\cdots \subset P_n$। नोटिस जो$f^*$ इंजेक्शन होना चाहिए (काफी नहीं, लेकिन यह मान लें कि यहां), तो अधिकतम आदर्श में एक श्रृंखला है $P'_0\subset\cdots\subset P'_{\text{dim}(Y)}=\mathfrak{m}$, और उन primes की छवि अभी भी प्रमुख है; इसलिए आपके पास लंबाई की एक लंबी श्रृंखला है$\dim(Y)+n$ में है $\Gamma(X)$। मुझे यकीन नहीं है कि अगर यह एक पूर्ण सबूत के लिए पूरा करना आसान है ...