टारगेट कंट्रोल क्वैब्स का आदान-प्रदान करके नियंत्रित-जेड की कार्रवाई क्यों नहीं की जाती है?
"क्वांटम कंप्यूटर साइंस" पुस्तक में, त्रुटि सुधार कोड की व्याख्या करते समय, यह इस चित्र का उपयोग करता है और कहता है कि "नियंत्रित-जेड की कार्रवाई टारगेट और कंट्रोल क्विबिट्स का आदान-प्रदान करके अनलॉक्ड है"।
क्या इसका मतलब यह है कि cZ (नियंत्रण ancilla qubit और लक्ष्य कोडवर्ड qubit) का कार्य cz (नियंत्रण कोडवर्ड qubit और लक्ष्य ancilla qubit) के बराबर है? अगर ऐसा है, तो ऐसा क्यों है?
मेरी समझ में, - 1> Z | 0> (पहली क्वैबिट कंट्रोल क्वाबिट है) Z के बराबर नहीं है। 0> | 1> (दूसरी क्वैबिट कंट्रोल क्वैबिट है)।
जवाब
यदि हमारे पास दो मनमाना राज्य है:
$$|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle + d|11\rangle$$
उसके बाद आवेदन करें $CZ_{1 \rightarrow 2}$ पहली क़िताब से नियंत्रित हम प्राप्त करेंगे:
$$CZ_{1 \rightarrow 2}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$
क्योंकि नियंत्रण ऑपरेशन तब होता है जब नियंत्रण क्विब होता है $|1\rangle$ तथा $Z$ गेट के आयाम के संकेत को बदलता है $|1\rangle$ राज्य, इसलिए $CZ_{1 \rightarrow 2}$ कार्रवाई का संकेत बदल रहा है $|11\rangle$।
अब की कार्रवाई $CZ_{2 \rightarrow 1}$:
$$CZ_{2 \rightarrow 1}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$
यहाँ केवल यही संकेत है $|11\rangle$समान कारणों की वजह से बदला जाना चाहिए। यह मैट्रिस का उपयोग करके भी देखा जा सकता है:
$$CZ_{1 \rightarrow 2} = |0\rangle \langle 0| I + |1 \rangle \langle 1| Z = \\ = \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&-1 \\ \end{pmatrix}=\\ =I |0\rangle \langle 0| + Z |1 \rangle \langle 1| = CZ_{2 \rightarrow 1} $$