टोपोलॉजी स्वयंसिद्धों और माप सिद्धांत स्वयंसिद्धों का एकीकरण क्यों नहीं हुआ है?
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एक टोपोलॉजिकल स्पेस का स्वयंसिद्ध और शुरुआत में एक माप स्थान बहुत समान लगता है। वे यूनियनों और चौराहों के बंद होने वाले स्वयंसिद्धों में भिन्न हैं। एक मैट्रिक और एक उपाय के बीच का अस्वाभाविक समानता मुझे आश्चर्यचकित करता है कि इन स्वयंसिद्धों को अलग से क्यों परिभाषित किया गया है। क्या वे केवल एक उपाय और एक माप स्थान की अवधारणा के साथ एक सिद्धांत विकसित नहीं कर सकते थे?
एक मुद्दा जो मैं देख रहा हूं वह यह है कि यह परिपत्र तर्क पैदा कर सकता है। यदि हमें माप सिद्धांत में अवधारणाओं को विकसित करने के लिए सामयिक स्थान के स्वयंसिद्धों की आवश्यकता है, तो यही कारण है कि हमें दो अवधारणाओं को अलग करने की आवश्यकता होगी। काउंटेबल यूनियनों बनाम काउंटेबल यूनियनों बनाम परिमित चौराहों और काउंटेबल चौराहों के बीच के अंतर को बंद करना, ऐसी कोई बात नहीं है जिसे मैं दो अवधारणाओं के बीच एकमात्र अंतर के रूप में देखना चाहता हूं। दो अलग-अलग प्रणालियाँ क्यों हैं जब वे कम से कम, शुरू से ही समान अवधारणाएँ हैं?
जवाब
टोपोलॉजी और $\sigma$-एल्जब्रस को विभिन्न उद्देश्यों को ध्यान में रखकर बनाया गया है। $\sigma$-एल्जब्रस को उपायों के साथ अच्छी तरह से खेलने के लिए डिज़ाइन किया गया है, जो एक सामान्यीकृत प्रकार के वॉल्यूम मापने वाले नक्शे हैं। टोपोलॉजी को "निकटता" की धारणा को पकड़ने के लिए डिज़ाइन किया गया है: जब एक बिंदु होता है$x$ एक सेट के करीब $S$? अगर हर खुले मोहल्ले के$x$ काटती है $S$। एक अनुक्रम कब मनमाने ढंग से पास हो जाता है$x$? अगर हर खुले मोहल्ले के$x$अनुक्रम में अंक शामिल हैं। इस तरह के सामान। तो यह आश्चर्यजनक नहीं है कि शुरुआत में, टोपोलॉजी और$\sigma$-एल्जब्रस अलग हैं।
परंतु! यदि हम इसके बारे में कुछ और सोचते हैं, तो हम यह जान सकते हैं कि सहज रूप से, बिंदु के खुले पड़ोस वे हैं, जिनकी एक निश्चित मात्रा है। जैसे, अगर मैं एक खुली गेंद डालूं$x$, मैं बता सकता हूं कि इसमें एक गैर-शून्य मात्रा है। तथा$\sigma$-एल्जब्रस को वॉल्यूम माप की अनुमति के लिए डिज़ाइन किया गया है। तो क्या सभी खुले सेट किसी तरह से नहीं बनाए जाने चाहिए$\sigma$-algebra? आखिरकार, इस तरह के सेट के लिए एक वॉल्यूम असाइन करने के लिए काम आ सकता है। और जवाब हाँ है, यह समझ में आता है। अगर हम सेट खोलने के लिए वॉल्यूम असाइन कर सकते हैं तो हम इसे बहुत पसंद करेंगे। उदाहरण के लिए, यह निरंतर कार्यों को वॉल्यूम के साथ अच्छी तरह से खेलने की अनुमति देगा, क्योंकि निरंतर कार्य खुले सेटों के साथ अच्छी तरह से खेलते हैं। और इसीलिए हम बोरेल को परिभाषित करते हैं$\sigma$-एल्जब्रा : एक टोपोलॉजिकल स्पेस दिया गया$(X,\tau)$, हम बोरेल को परिभाषित करते हैं $\sigma$-बल्जरे पर $X$ जैसा $\mathcal B(X):=\sigma(\tau)$, वह सबसे छोटा है $\sigma$सभी खुले उपसमूह युक्त बीजगणित $X$, इसलिए सभी सबसेट जो मात्रा होनी चाहिए। अभी$(X,\mathcal B(X))$ एक औसत दर्जे का स्थान है जिस पर हम एक माप को परिभाषित कर सकते हैं $\mu$प्रत्येक खुले सेट में एक वॉल्यूम असाइन करने के लिए, अगर हम बहुत इच्छुक थे। उदाहरण के लिए, यह दृष्टिकोण अक्सर लेब्सेग माप को परिभाषित करने के लिए लिया जाता है। हम प्रत्येक खुले सेट को लेते हैं$\mathbb R^n$और इसे उस वॉल्यूम को असाइन करें जो इसे सहज रूप से होना चाहिए, और फिर हम अन्य सभी सेटों को लेते हैं जिन्हें हम एकजुट होकर और इनको जोड़कर प्राप्त कर सकते हैं और उन्हें एक वॉल्यूम प्रदान कर सकते हैं जो एक माप की परिभाषा के अनुरूप है। (बाहरी उपायों का उपयोग करके एक "बेहतर" दृष्टिकोण है जो अधिक औसत दर्जे का सेट देता है, लेकिन यह सरल है।)
लेकिन बोरेल $\sigma$-एल्जेब्रा सिर्फ एक विशिष्ट है $\sigma$हम चाहते हैं -algebra। अन्य अनुप्रयोगों के लिए, विभिन्न लोग बेहतर काम कर सकते हैं, खासकर अगर हम वास्तव में अंतर्निहित सेट पर निकटता की भावना की परवाह नहीं करते हैं। फिर हमें टोपोलॉजी की आवश्यकता नहीं है, इसलिए हमारे लिए प्रतिबंधित क्यों है$\sigma$एक टोपोलॉजी के साथ बीजगणित?