Torricelli की बात का दसियों कलन प्रमाण?
टेंसर कैलकुलस पर इस वीडियो लेक्चर में , 2:36 के आसपास वह एक ज्यामितीय "लंबाई फ़ंक्शन" का ढाल लेता है जो लंबाई की दिशा में बाहर की ओर बढ़ता है। लेकिन मुझे समझ नहीं आ रहा है कि ग्रेडिएंट किस दिशा में होना चाहिए? क्या विभिन्न बिंदुओं में अलग-अलग ग्रेडिएंट हैं? और तीन बिंदुओं से किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने की तकनीकीता क्या है?
मैंने निर्माण के बारे में यह बताने की कोशिश की कि उसने निर्देशांक का उपयोग करते हुए क्या किया:
तीन बिंदु लें $ A_1,A_2,A_3$
अब, इन तीन निश्चित बिंदुओं से हम त्रिकोण में एक बिंदु लेते हैं $ (x,y)$
लश्कर $d(A_i(x,y))$ शिखर से हमारी बात की दूरी A हमारा लक्ष्य न्यूनतम करना है:
$$ D(x,y) = \sum_{k=1}^{3} d(A_i (x,y) )$$
माना जाता है कि हम दोनों पक्षों का ग्रेडिएंट लेते हैं और बाएं को शून्य पर सेट करते हैं, हम प्राप्त करते हैं,
$$ 0 = \nabla \sum_{k=1}^{3} d(A_i (x,y)) $$
या,
$$ 0 = \sum_{k=1}^{3} \nabla d(A_i (x,y) ) $$
और वह बिंदु जहां तीन यूनिट वैक्टर हैं $ d(A_i (x,y))$शून्य पर जाना हमारा Torricelli बिंदु है, लेकिन मुझे इस बात से कोई फ़र्क नहीं पड़ता कि वह वर्टेक्स से दूरी के आधार पर कार्यों को कैसे परिभाषित करता है। वास्तव में इसकी तकनीकी क्या है?
इसके अलावा, मुझे ऑनलाइन समान प्रमाण नहीं मिल रहा है, क्या यह एक अच्छी तरह से प्रलेखित प्रमाण नहीं है?
संपादित करें: कुछ और विचारों पर, क्या मैं और अधिक जटिल आकृतियों के 'टॉरिकेली बिंदु' को खोजने के लिए एक समान विधि का उपयोग कर सकता हूं? ऐसा लगता है कि यह समान सिद्धांतों द्वारा आसानी से करने योग्य होना चाहिए।
उदाहरण के लिए, पेंटागन के 'टॉरसिले बिंदु' को खोजने से 5 यूनिट वैक्टर की व्यवस्था करने का तरीका खोजने की समस्या कम हो जाती है, जैसे कि उनका योग शून्य है जैसा कि नीचे दिखाया गया है। आगे बोलते हुए, आम तौर पर एक ऐसी व्यवस्था कैसे मिलेगी जो शून्य में जुड़ती है?
जवाब
कई सवाल हैं। आइए एक सूची बनाने की कोशिश करें।
- "अलग-अलग बिंदुओं के अलग-अलग ग्रेडिएंट हैं?"
हाँ, वो करते हैं। किसी फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट एक वेक्टर फ़ील्ड है, जिसका अर्थ है वेक्टर, पॉइंट टू पॉइंट भिन्न होता है।
- "लेकिन मुझे समझ नहीं आ रहा है कि ग्रेडिएंट किस दिशा में होना चाहिए?"
"मुझे नहीं लगता कि वह कैसे शीर्ष से दूरी के आधार पर कार्यों को परिभाषित करता है। वास्तव में इसकी तकनीकी क्या है?"
ज्यामितीय रूप से हमारे पास ढाल के 2 गुण हैं:
क) समारोह के सबसे तेज वृद्धि की दिशा में ढाल बिंदु।
फ़ंक्शन "डिस्टेंस टू ओ" के लिए कुछ पी पर सबसे तेज़ वृद्धि की दिशा (भाग 1 के उत्तर के अनुसार, यह पी के रूप में अलग-अलग होगी) किरण ओपी के साथ बढ़ने की दिशा है, "ओ से बाहर"। फिर से, यह दिशा बदलती है क्योंकि हम पी भिन्न होते हैं।
बी) ग्रेडिएंट का आकार ग्रेडिएंट की दिशा में प्रति चरण फ़ंक्शन में परिवर्तन है (बहुत छोटे चरणों की सीमा में)।
"O से दूरी" के लिए यह क्या कह रहा है कि हमें गणना करनी चाहिए कि "O से दूरी" कितना बदल जाती है क्योंकि हम आकार का एक चरण लेते हैं $\Delta$किरण ओपी के साथ। उत्तर है$\Delta$। चरण आकार द्वारा फ़ंक्शन में वृद्धि का अनुपात 1. है इसलिए ग्रेडिएंट वेक्टर लंबाई 1 (किसी भी पी के लिए) है।
वैकल्पिक रूप से, आप लिख सकते हैं $f(P)=|OP|$और ढाल लो। मान लेते हैं कि O बिंदु (निश्चित) निर्देशांक है$(x_0, y_0)$ तथा $P$ चर निर्देशांक है $(x, y)$।
के ढाल की गणना करने के लिए $f(P)=f(x,y)=|OP|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$ हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि वर्ग दूरी दूरी (होने) की तुलना में एक अच्छा कार्य है $f^2(P)=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2)$, इसलिए द्विघात बहुपद)। तो, हम चेन नियम का उपयोग करते हैं,$\nabla_P f^2(P)=2 f(P) \nabla_P f^2(P)$; तथा$\nabla_P f^2(P)=(2(x-x_0), 2(y-y_0))=2 OP$। साथ में यह देता है$\nabla_P f(P)=\frac{OP}{|OP|}$, उर्फ यूनिट वेक्टर को रे ओपी के साथ इंगित करता है, जैसा कि हम ऊपर ज्यामितीय तर्क से प्राप्त करते हैं।
- "क्या मैं अधिक जटिल आकृतियों के 'टॉरिकेली बिंदु' को खोजने के लिए एक समान विधि का उपयोग कर सकता हूं?"
खैर, वह हिस्सा जहां ric टोरिसेली पॉइंट ’वह होता है, जहां यूनिट वैक्टर बिंदु से लेकर शून्य तक का योग वास्तव में एक ही होता है, और एक ही कारण से। समस्या यह है कि 3 वैक्टरों के लिए एकमात्र तरीका यह सच हो सकता है कि सभी में वैक्टरों के किसी भी जोड़े के बीच कोण 120 हैं - ताकि टोरिकेली बिंदु के पास यह "120 डिग्री" संपत्ति होनी चाहिए। किसी भी अधिक संख्या में वैक्टर के लिए, यूनिट वैक्टर के असीम रूप से कई संभावित विन्यास हैं जो शून्य तक हैं। तो हालत "वैक्टर राशि शून्य" बहुत कम प्रतिबंधक है। यह कुछ गैर-तुच्छ तरीके से इस शर्त के साथ जोड़ा जाना चाहिए कि ये वैक्टर पी से हमारे बहुभुज के कोने तक इंगित करते हैं। यह मेरे लिए तुरंत स्पष्ट नहीं है कि यह कैसे होगा।
- "उदाहरण के लिए, पेंटागन के 'टॉरसिले बिंदु' को खोजने से 5 यूनिट वैक्टर की व्यवस्था करने का तरीका खोजने की समस्या कम हो जाती है, जैसे कि उनकी राशि शून्य है जैसा कि नीचे दिखाया गया है। आगे बोलते हुए, आम तौर पर कोई ऐसी व्यवस्था कैसे खोजेगा जो जोड़ता है। शून्य करने के लिए? "
यकीनन। 5 वैक्टरों के लिए आप आसानी से ऐसी कई व्यवस्थाएं तैयार कर सकते हैं: 2 यूनिट वैक्टरों को सम्मिलित करें 0 और 2 के बीच किसी भी आकार की मनमानी दिशा में एक वेक्टर प्राप्त कर सकते हैं। अब किसी भी त्रिभुज को एक तरफ ले जाएं$\vec{v}$ of size 1 and two others of sizes between 0 and 2. Make these two "other" sides by summing some pairs of unit vectors, and finally add the last unit vector equal to $\vec{v}$. The overall sum of 5 vectors is then the sum of the 3 vectors making up the triangle, i.e. $\vec{0}$.
Now, for a random configuration of this type you will not find a point P such that the vector from it to your 5 vertices make this configuration. Hence it is not clear how to find "Torricelli points" of pentagons using this kind of method.