त्रुटि सुधार कोड और ऑपरेटरों के आवागमन के बीच क्या संबंध है?
उदाहरण के लिए, 5-qubit QECC।
अगर $X_i, Y_i, Z_i$ के साथ आवागमन करता है $M_i$Eigenvalue +1 होगा। अन्यथा, प्रतिध्वनि -1 होगी। क्या है कम्यूटेशन और साइन ऑफ आइगनवेल? इसके अलावा, के बाद से नियंत्रण qubit ancilla qubit है और लक्ष्य qubit है$\psi$, कैसे आता है कि लक्ष्य qubit में परिवर्तन नियंत्रण qubit के माप को प्रभावित कर सकता है? उदाहरण के लिए, यदि$X_0$ प्रकट होता है, एनिला क्वाइब का माप परिणाम 0100 क्यों है?
जवाब
आप जो वर्णन कर रहे हैं उसे अप्रत्यक्ष माप कहा जाता है, और यह स्टेबलाइजर औपचारिकता की रीढ़ बनाता है। इसे समझने के लिए, हम पॉली समूह के एक सामान्य तत्व के साथ काम कर सकते हैं, जो नीचे दिए गए आरेख में लेबल किया गया गेट है$P$। यह भी$|\phi\rangle$ तार आम तौर पर का एक बंडल है $n$ तारों, और गेट $P$ उन सभी पर कार्य करता है (आपके उदाहरण में, यह एक पाँच-क्विट स्टेट है, और प्रत्येक एकल-क्वेटी पाउली है $X$, $Z$, या $I$), लेकिन इस उदाहरण के लिए मान लेते हैं कि यह एक एकल श्रेणी है।
पाउली समूह के किसी भी तत्व में एक आइगेंसस्पेस होता है जैसे कि आधा eigenvectors में eigenvalue +1 होता है, और दूसरे आधे में eigenvalue -1 होता है। एकल-क्वेटी पाउली के मामले में$P$, हम इन दो eigenvectors कॉल कर सकते हैं $|\phi_+\rangle$ तथा $|\phi_-\rangle$, और इस आधार पर इनपुट स्थिति लिखें $|\phi\rangle = \alpha |\phi_+\rangle + \beta |\phi_-\rangle $।
सर्किट की कार्रवाई को पूरा करते हुए, हम प्राप्त करते हैं
$$ |0\rangle|\phi\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle) |\phi\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle |\phi\rangle + |1\rangle P |\phi\rangle ) \rightarrow \frac{1}{2} (|0\rangle(I + P)|\phi\rangle + |1\rangle(I - P)|\phi\rangle) $$
इसका मतलब यह है कि एनीला को मापने के दौरान हम जो परिणाम प्राप्त करते हैं, वह निर्धारित करता है कि हम किस ऑपरेटर को डेटा क्वेट (ओं) पर लागू करते हैं। केवल पहले कार्यकाल के लिए काम करना, जैसे कि हमने एंकिल को मापा और उसे ढह दिया$|0\rangle$:
$$ \frac{1}{2}(I+P) |\phi\rangle = \frac{1}{2} (I+P) (\alpha|\phi_+\rangle + \beta|\phi_-\rangle) = \frac{1}{2} (\alpha|\phi_+\rangle + \beta|\phi_-\rangle + \alpha|\phi_+\rangle - \beta|\phi_-\rangle) = \alpha |\phi_+\rangle $$
तो ऑपरेटर की कार्रवाई एंगिला परिणाम पर वातानुकूलित, अपने पॉजिटिव एगेंसपेस पर प्रोजेक्ट करना है (और आप यह देख सकते हैं कि अन्य परिणाम एनीग्जपेन्स प्रोजेक्ट पर हैं)। चूँकि हम केवल एक व्यक्ति के राज्य को ढहने के बजाय एक उप-स्थान पर प्रोजेक्ट करते हैं, इसलिए इसे अप्रत्यक्ष माप कहा जाता है। स्पष्ट होने के लिए, इस उदाहरण में$|\phi_+\rangle$ है सिर्फ हिल्बर्ट अंतरिक्ष में एक किरण है, लेकिन आप जैसे अन्य प्रोजेक्टर कल्पना कर सकते हैं$ZZ$ जो सम / विषम उप को परिभाषित करते हैं, किरण नहीं।
अगर हम जानबूझकर तैयारी करते हैं $|\phi\rangle = |\phi_+\rangle$, तो एंसिला केवल 0 कभी दे सकता है, क्योंकि डेटा स्टेट का कोई भी हिस्सा ऋणात्मक ईजेन (उप) स्पेस में नहीं है ($\alpha=1, \beta=0$) है।
अब, अगर कुछ त्रुटि होती है तो क्या होगा $U$ गेट से पहले होता है $P$? चूंकि त्रुटि को कुछ पाउली भी माना जाता है, इसलिए इसमें कुछ सकारात्मक और नकारात्मक ईगेंसस्पेस भी हैं। इसके अलावा, ध्यान दें कि पाउली समूह के किसी भी दो तत्वों को या तो लघुकरण या एंटीकम्यूट करना होगा।
मान लो की $U$ के साथ आवागमन करता है $P$: $$ UP = PU \rightarrow PU|\phi_+\rangle = U|\phi_+\rangle $$ इसलिए नई त्रुटि स्थिति $U|\phi_+\rangle$ अभी भी eigenvalue +1 अंडर है $P$। एंकिल को कम करना अभी भी केवल कभी दे सकता है$|0\rangle$ (अर्थात $m_Z = +1$) है।
अब ऐसा मान लें $U$ विरोधी के साथ $P$: $$ UP = -PU \rightarrow PU|\phi_+\rangle = -U|\phi_+\rangle $$ अब जिस राज्य को पॉजिटिव आईजेन्सपेस में होना चाहिए था, उसके तहत आइजनवेल्यू -1 है $P$त्रुटि के कारण, इसलिए रिक्त स्थान फ़्लिप हो गए हैं! इसका मतलब है कि एंकिल केवल कभी दे सकता है$|1\rangle$ माप पर (यानी $m_Z = -1$) है।
इस तरह, त्रुटियाँ ($U$) कि स्टेबलाइजर्स के साथ आवागमन ($P$) अनिर्वचनीय हैं, क्योंकि वे संबंधित एंकिलस के संकेत को फ्लिप नहीं करते हैं। लेकिन किसी भी त्रुटि जो कम से कम एक स्टेबलाइजर के साथ एंटीकोम्यूट करती है, वह कम से कम एक एनीला को फ्लिप करेगी, और हम त्रुटि का पता लगा सकते हैं। फिर, केवल एक चीज बची है, यह सुनिश्चित करने के लिए कि विभिन्न त्रुटियां एंकिल के अनूठे सेटों को ट्रिगर करती हैं, जिन्हें सिंड्रोमेस कहा जाता है, ताकि त्रुटियां विशिष्ट रूप से डिकोडेबल हो।
(क्वांटम सूचना पाठ्यक्रम नोट्स के टीयू डेल्फ़्ट फंडामेंटल के छवि क्रेडिट)