$u_t+(u(1-u))_x=a(1-2u)$रीमैन प्रारंभिक डेटा के साथ यातायात प्रवाह समीकरण के लिए विशेषताओं की विधि
हम गैर-संरक्षण समीकरण पर विचार करते हैं $$u_t+(f(u))_x=af'(u)$$ कहां है $a$ एक स्थिर और है $f(u)=u(1-u)$।
मैं प्रारंभिक स्थिति के साथ विशेषताओं के विधि द्वारा इस समीकरण को हल करने की कोशिश कर रहा हूं $$u(x,0)=\begin{cases} u_l & x\leq0 \\ u_r & x>0 \\ \end{cases} $$ विशेषताओं के आधार पर, मेरे पास है $\displaystyle \frac{dt}{1}=\frac{dx}{1-2u}=\frac{du}{a(1-2u)}$, इसका मतलब है कि विशेषताओं का समीकरण है $$\displaystyle \frac{dx}{dt}=1-2u$$ साथ $\displaystyle \frac{du}{dx}=a, \displaystyle \frac{du}{dt}=a (1-2u).$
इन समीकरणों को हल करते हुए मैं ऊपर पहुंचा $u(x,t)=ax+ g(t)$ कहां है $g$ का कुछ कार्य है $t$अकेला। मैं नहीं जानता कि आगे कैसे बढ़ना है।
मैं इसे हल करने में सक्षम था जब हमारे पास समीकरण था $$u_t+(f(u))_x=0$$ जैसा कि $u$विशेषताओं की रेखा के साथ स्थिर था। किसी भी सहायता के लिए अग्रिम रूप से धन्यवाद।
जवाब
ध्यान दें कि प्रारंभिक डेटा $u(x,0)$ से एक कूद असंतोष के होते हैं $u_l$ सेवा मेरे $u_r$, इस प्रकार यह प्रारंभिक मूल्य समस्या एक रीमैन समस्या है । लोकप्रिय Lighthill-Witham-Richards (LWR) ट्रैफ़िक फ़्लो मॉडल को तब पुनर्प्राप्त किया जाता है जब$a=0$, और इसी Riemann समाधान इस पोस्ट में वर्णित है । हमें मनमानी के मामले से निपटना चाहिए$a$, इस पोस्ट के लिए एक समान दृष्टिकोण का पालन करके । स्थापना$v = 1 - 2u$ पीडीई प्रदान करता है $$ v_t + vv_x = -2av $$ जिसके लिए विशेषताओं की विधि उपज देती है $v = c_1e^{-2at}$, $\frac{v-c_1}{2a} = -x+c_2$ तथा $$ v = f\!\left(x - v\,\frac{e^{2at}-1}{2a}\right) e^{-2at} \, , $$जो @Dmoreno द्वारा उत्तर में पाए गए समाधान के बराबर है। हालांकि, बंद प्रारंभिक डेटा के लिए, विशेषताओं का तरीका पर्याप्त नहीं है (यह केवल मान्य है जहां$u$चिकनी है)। इस प्रकार, हम कमजोर अर्थों में इस समस्या को हल करने के लिए उपयुक्त तरीकों का उपयोग करते हैं, संबंधित पोस्ट देखें । यहां, हम शॉक-वेव समाधान का पता लगाते हैं$$ v(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &v_le^{-2at} &&\text{if}\quad x< x_s(t) \\ &v_re^{-2at} &&\text{if}\quad x> x_s(t) \end{aligned}\right. ,\qquad x_s(t) = \frac{v_l+v_r}{2}\frac{1-e^{-2at}}{2a} . $$ अगर $v_l > v_r$, और रेयरफैक्शन वेव सॉल्यूशन $$ v(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &v_le^{-2at} &&\text{if}\quad x< v_l (e^{-2at} - 1) \\ & \frac{x e^{-2at}}{e^{-2at} - 1} && \text{if}\quad v_l (e^{-2at} - 1)\leq x\leq v_r (e^{-2at} - 1) \\ &v_re^{-2at} &&\text{if}\quad x> v_r (e^{-2at} - 1) \end{aligned}\right. $$ अगर $v_l < v_r$। एक ही समाधान की जाँच कर सकता है$u = \frac{1-v}2$ प्रारंभिक पीडीई समस्या से सीधे निपटने के बिना (परिवर्तनशील चर के बिना) प्राप्त किया जाता है।
से $\mathrm{d}u/\mathrm{d}x = a$ आपको मिला $u - ax = c_1$, और यहां ये $a\mathrm{d}t = \mathrm{d}u/(1-2u)$ आप प्राप्त करते हैं $u = \frac{1}{2}(1-c_2 \mathrm{e}^{-2 at})$। लश्कर$c_2 = f(c_1)$ के लिए एक अंतर्निहित समाधान प्राप्त करने के लिए $u$, समीकरण द्वारा निर्धारित
$$ u = \frac{1}{2}\left[1-f(u - ax) \, \mathrm{e}^{-2 at}\right]$$
अब हाथ में काम निर्धारित करना है $f$ प्रारंभिक स्थिति से और अंत में हल करने के लिए $u$। क्या आप इसे यहाँ से ले जा सकते हैं?