उम्मीद की गणना के बारे में एक सवाल [डुप्लिकेट]
चलो $X$ तथा $Y$ दो यादृच्छिक चर हो।
मैं एक पुस्तक राज्यों को नोटिस करता हूं $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ बिना प्रमाण के।
मुझे लगता है, सबसे सरल मामले के लिए, प्रमाण निम्नलिखित हो सकते हैं: - $E(X + Y) = \sum p_i (X + Y) = \sum (p_i X + p_iY) = \sum (p_i X) + \sum (p_i Y) = E(X) + E(Y)$।
लेकिन क्या होता है अगर वाई के लिए इसी संभावनाएं हैं $q_i$ तथा $p_i \ne q_i$ सामान्य रूप में?
जवाब
नोट : सादगी के लिए मैं लिखूंगा$f(x,y)$ की बजाय $f_{XY}(x,y)$। निम्नलिखित प्रमाण निरंतर मामले में है, लेकिन समान प्रमाण असतत मामले में या सामान्य रूप में है
$$\mathbb{E}[X+Y]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x+y)f(x,y)dxdy=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x,y)dxdy+\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}yf(x,y)dxdy=$$
$$\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}f(y|x)dy}_{=1}+\int_{-\infty}^{+\infty}yf(y)dx\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}f(x|y)dx}_{=1}=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y]$$
संपादित करें: असतत मामला
$$\mathbb{E}[X+Y]=\sum_x\sum_y (x+y)p(x,y)=...$$