उत्तल कार्य की सीमा
मुझे निम्नलिखित अभ्यास पर जाँच की आवश्यकता होगी:
लश्कर $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ उत्तल कार्य।
साबित करो $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)$ तथा $\lim_{x \rightarrow - \infty} f(x)$ मौजूद
दिखाएँ कि यदि दोनों सीमाएं परिमित हैं, तो $f$ स्थिर है।
मेरा प्रयास:
i) मुझे पता है कि अगर $f$ उत्तल है, फिर $$f(t x_1 + (1-t)x_2)< t f(x_1) + (1-t) f(x_2)$$
अगर मैं एक मनमानी ठीक करूं $N>0$, तो मेरे पास इसके लिए है $x>x_2 \colon \quad f(x)>N$, उत्तलता के लिए धन्यवाद, इसलिए यह सीमा को साबित करता है $+ \infty$ है $+\infty$।
उसी तर्क पर लागू होता है $\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)$: यह ध्यान देने के लिए पर्याप्त है $x<x_1 \colon \quad f(x)>N$।
ii)
आलेखीय रूप से यह स्पष्ट है, लेकिन मुझे इसे औपचारिक बनाने में कुछ समस्या है।
यदि सीमा सीमित है, तो कहें $L$, फिर हर के लिए $\varepsilon >0$ वहाँ मौजूद है $M(\varepsilon)$ इस तरह के लिए $$x>M(\varepsilon) \colon \quad |f(x)-L|\leq \varepsilon$$
मान लीजिये $f (x) \ne c$। उत्तलता की परिभाषा से, इसे धारण करना है (के लिए)$t \in [0,1]$) $$t f(M)+(1-t)f(M+1) \leq f(t M + (1-t)(M+1))$$
अब, सीमा की परिभाषा से, $f(M)$ तथा $f(M+1)$ से कम हैं $L-\varepsilon$। इसके अलावा, असमानता के आरएच में तर्क को सरल बनाया जा सकता है:
$$L-\varepsilon <t f(M)+(1-t)f(M+1) \leq f(t M + (1-t)(M+1)) = f(M-t)$$
इसलिये $$L-\varepsilon < f(M-t)$$, जो एक विरोधाभास है क्योंकि $M-t<M$ और इसलिए यह अधिक से अधिक हो सकता है $L-\varepsilon$।
इसलिए $f$ के बराबर होना है $c$। वास्तव में इस मामले में, यह अभी भी (तुच्छ रूप से) उत्तल है, और सीमाएं निश्चित रूप से सीमित हैं।
जवाब
संकेत: यह साबित करने की कोशिश करें कि उत्तल कार्य या तो घट रहा है, या तो बढ़ रहा है, या तो घट रहा है, फिर बढ़ रहा है।
उत्तलता का अर्थ आमतौर पर "$\le$", नहीं "$\lt$"(अन्यथा यह" सख्ती से उत्तल "है)।
आप यह नहीं दिखाना चाहते कि f हमेशा अनंत तक जाता है, क्योंकि इसकी आवश्यकता नहीं है।
के साथ शुरू $x\rightarrow\infty$।
मान लीजिए कि पहले दो बिंदु हैं $x\lt y$ साथ में $f(x)\lt f(y)$। तब हम दिखा सकते हैं कि एफ अनंत तक जाता है। हम सामान्यता के नुकसान के बिना मान सकते हैं कि$x=0$ तथा $f(x)=0$ (यदि ऐसा नहीं है, तो तब तक स्लाइड और शिफ्ट करें जब तक यह ऐसा नहीं हो जाता। यह उस व्यवहार को नहीं बदलेगा जिसमें हम रुचि रखते हैं।)
कुछ पर विचार करें $z>y$। जबसे$y>x=0$, फिर $z=y/t$ कुछ के लिए $0<t<1$। तो उत्तलता द्वारा,$$tf(z)=tf(y/t)+(1-t)f(0)\ge f(t(y/t)+(1-t)0)=f(y)$$ इसलिए $f(z)\ge f(y)/t$। जैसा$z\rightarrow \infty$ यह स्पष्ट है कि $t$ जाता है $0$, इसलिए $f(y)/t\rightarrow\infty$ (याद है $f(y)>0$) और इसलिए ऐसा करता है $f(z)$। इसलिए इस मामले में$f$ अनंत तक बढ़ जाता है।
अन्यथा हमारा दमन झूठा था, इसलिए च या तो स्थिर होना चाहिए या फिर गैर स्थिरांक और एकरसता कम हो रही है। मान लीजिए यह बाद की बात है। फिर से, मूल को स्थानांतरित करें ताकि$f(0)=0$। फिर$f(1)<0$ और यह उत्तल संपत्ति द्वारा दिखाना आसान है $f(t)\le t f(1)$ इसलिए $f$ शून्य से अनंत तक जाता है।
तब आप समरूपता द्वारा तर्क को दोहरा सकते हैं, जैसे कि व्यवहार के लिए $x\rightarrow-\infty$।