वहाँ एक सिग्मा-बीजगणित के साथ एक सिग्मा-बीजगणित को लैस करने का एक मानक तरीका है?
मान लीजिए $(X, \mathcal X)$एक औसत दर्जे का स्थान है। मैं औसत दर्जे के कार्यों के बारे में कुछ कहना चाहता हूं जिसमें मूल्य लिया जाता है$\mathcal X$, लेकिन ऐसा करने के लिए, मुझे जरूरत है $\mathcal X$ एक सिग्मा-बीजगणित से लैस होना।
क्या बराबरी का एक विहित तरीका है $\mathcal X$ एक सिग्मा-बीजगणित के साथ $\mathcal F_\mathcal X$ ताकि हम से मापने योग्य कार्यों के बारे में बात कर सकें $(X, \mathcal X)$ सेवा $(\mathcal X, \mathcal F_\mathcal X)$?
कुछ विचार जो मेरे साथ हुए:
(1) $\mathcal F_\mathcal X = \{A \subset \mathcal X: \bigcup A \in \mathcal X\}$। लेकिन मैं यह नहीं देखता कि यह बस्तियों के नीचे बंद है।
(2) $\mathcal F_\mathcal X = \{A \subset \mathcal X: \bigcup A \in \mathcal X \ \text{or} \ \bigcap A \in \mathcal X\}$। लेकिन मैं यह नहीं देखता कि यह गणनीय यूनियनों के तहत बंद है।
जवाब
जहां तक मुझे पता है, इस तरह की औसत दर्जे की संरचना के निर्माण के लिए कोई मानक दृष्टिकोण नहीं है।
हमें कुछ इस तरह की आवश्यकता थी कि कुछ कामों के लिए मार्कोव निर्णय प्रक्रियाओं को (कंप्यूटर विज्ञान के दृष्टिकोण से देखा जाए) "गैर नियतत्ववाद" के साथ। आप arXiv ( DOI ) पर संदर्भ देख सकते हैं ।
जो परिभाषा हमारे लिए काम की थी, उसमें से कुछ को एक उपसमुच्चय घोषित करना था $\mathcal{X}$ औसत दर्जे का है अगर यह अंदर है $\sigma$-algebra $H(\mathcal{X})$ सेट द्वारा उत्पन्न $H_\xi := \{\theta\in \mathcal{X} : \theta \cap \xi \neq \varnothing\}$, कहाँ पे $\xi$ पर्वतमाला $\mathcal{X}$। यह ज्यादातर टोपोलॉजिकल स्पेस के बंद उपसमूह के मापने योग्य हाइपरस्पेस के निर्माण से प्रेरित है।
वास्तव में, कुछ उचित सबसेट के लिए सीमित है $\mathcal{X}$ परिणाम के बाद से अधिक समझदार लगता है $\sigma$-बेलब्रे बहुत बड़ा है: यदि मुझे सही याद है, तो एक बार $X$ अनंत है और $\mathcal{X}$ अंक अलग करता है, फिर $H(\mathcal{X})$ सहसा उत्पन्न नहीं हो सकता।