वैकल्पिक प्रमाण अनुरोध: यदि $C=\{x^2,x\in S\}$, वो दिखाओ $\sup(C)=\max\{\sup(S)^2,\inf(S)^2\}$
इस प्रश्न का केवल एक उत्तर है जो एक गैर-घटते हुए कार्य की निरंतरता पर भरोसा करने वाले प्रमेयों का उपयोग करता है। जबकि मैं (मुझे लगता है) उत्तर को समझ सकता है, मेरे पास भी यही अभ्यास है, लेकिन हमने अभी भी निरंतरता का अध्ययन नहीं किया है, हम वास्तविक संख्या का अध्ययन कर रहे हैं और अनुक्रमों का अध्ययन करने की तैयारी कर रहे हैं। शायद इस जवाब को देखने के कारण, मुझे यह साबित करने का एकमात्र तरीका निरंतरता का उपयोग करना है, लेकिन निरंतरता के बारे में उन सिद्धांतों का उपयोग किए बिना एक रास्ता होना चाहिए। क्या कोई मुझे केवल वास्तविक संख्या / सर्वोच्च / अनंत / आदि गुणों के साथ यह साबित करने का रास्ता दिखा सकता है?
किसी भी सहायता की सराहना की जाएगी।
जवाब
संकेत
मान लीजिए $S\subset [0,\infty )$। चलो$c=\sup C$ तथा $s=\sup(S)$। चलो$\varepsilon >0$। वहाँ है$x\in C$ सेंट $c-\varepsilon \leq x^2\leq s^2$। चूंकि यह सभी के लिए है$\varepsilon >0$, हम $c\leq s^2$।
लगता है कि $c<s^2$, यानी वहाँ है $x\in S$ सेंट $c<x^2\leq s^2$। यह इस तथ्य के विपरीत है कि$c=\sup\{x^2\mid x\in S\}$।
इसलिए $c=s^2$ जैसा चाहा गया।
मैं आपको उस मामले में सबूत को अनुकूलित करने देता हूं जहां $S\subset \mathbb R$ की बजाय $S\subset [0,\infty )$ केवल।