वक्रता के समीकरण को देखते हुए, पैरामीट्रिक समीकरणों के परिवार को कैसे पता चलता है कि कौन फिट है?
मैंने दिए गए वक्रता के पैरामीट्रिक समीकरणों को खोजने के लिए विशेष मामलों के लिए यहां कुछ प्रश्न और उत्तर देखे हैं। उदाहरण के लिए, दिए गए वक्रता वाले वक्र के लिए पैरामीट्रिक समीकरण ज्ञात कीजिए । हालांकि मुझे डर है कि मैं सामान्य प्रक्रिया को नहीं समझता। क्या कोई मुझे इस प्रक्रिया के माध्यम से मार्गदर्शन कर सकता है?
मुझे फॉर्म के पैरामीट्रिक समीकरणों की परवाह है
$$\gamma(s)=(x(s),y(s))$$
इसलिए हस्ताक्षर किए गए वक्रता
$$\kappa=\frac{x'y''-y'x''}{(x'^2+y'^2)^\frac{3}{2}}$$
मेरा सवाल यह है कि
के लिए समीकरण दिया $\kappa(s)$, आप कैसे समाधान के परिवार के लिए मिल रहे हैं $\gamma(s)$?
मुझे लगता है कि एक अद्वितीय वक्र है जो संतुष्ट करता है $\kappa(s)$, हालांकि अंतिम समाधान में तीन स्थिरांक होंगे, $x_0$, $y_0$, तथा $\theta$, जो मनमाने ढंग से अनुवाद और ऐसे वक्र के रोटेशन (या कुछ समतुल्य) को सांकेतिक शब्दों में बदलना होगा, जैसे कि, सहज रूप से, वक्रता पूरे वक्र के अनुवाद या रोटेशन की परवाह नहीं करता है।
अंतिम नोट के रूप में, मैं केवल एक अडॉप्टिस्टिक अंडरग्राउंड हूं, और जैसे कि मैंने केवल अकादमिक रूप से पहले-क्रम के अंतर समीकरणों से निपटा है और केवल स्व-सिखाया वक्रता है। बावजूद, मैं वैचारिक रूप से प्रत्येक को समझता हूं। जैसे, मैं अपनी समझ के स्तर पर लगभग उत्तर की सराहना करूँगा।
जवाब
न केवल एक मनमाना रोटेशन और अनुवाद है, बल्कि वक्र का एक प्रतिबिंब और पैरामीट्रिशन भी है। तो, सबसे पहले, मानक आरेखीय गति को ले जाएं, जिसमें वक्रता की परिभाषा बन जाती है$$\mathbf{t}'(s)=\kappa(s)\mathbf{n}(s)$$ कहाँ पे $\mathbf{t}(s)=(x'(s),y'(s))$ स्पर्शरेखा सदिश और है $\mathbf{n}(s)=(-y'(s),x'(s))$सामान्य वेक्टर है। उत्तरार्द्ध केवल एक संकेत तक परिभाषित किया गया है, इसलिए किसी को मनमाने ढंग से उनमें से एक को चुनना होगा। यह वक्र की स्थिरता को ठीक करता है, अर्थात प्रतिबिंब।
इसलिए हल करने के लिए अंतर समीकरण है $$\begin{pmatrix}x''(s)\cr y''(s)\end{pmatrix}=\kappa(s)\begin{pmatrix}-y'(s)\cr x'(s))\end{pmatrix}$$ दूसरे क्रम के समीकरण के रूप में, इसे एकीकरण के चार स्थिरांक देने चाहिए, लेकिन इसमें आरेख गति है $(x')^2+(y')^2=1$, इसलिए वास्तव में केवल तीन स्थिरांक रह गए हैं: अनुवाद के लिए दो, और रोटेशन के लिए एक।
जैसा कि मैंने कहा है "मैंने केवल अकादमिक रूप से पहले-क्रम के अंतर समीकरणों से निपटा है" , इसलिए मेरे स्वयं के प्रश्न का यह उत्तर दोषों से पार हो सकता है, लेकिन यह (मुझे विश्वास है) सामान्य रूप में मैं देख रहा था। अंतर्दृष्टि के लिए Chrystomath को बहुत धन्यवाद।
अगर $(x')^2+(y')^2=1$, फिर
$$\kappa=x'y''-y'x''$$
इसके अलावा, $(x')^2+(y')^2=1\implies y''=-\frac{x'x''}{y'}$
$$\implies -\kappa y'=x''\implies\kappa^2(y')^2=(x'')^2\implies\kappa^2(1-(x')^2)=(x'')^2$$
लश्कर $u=x'$
$$\implies \kappa^2(1-(x')^2)=(x'')^2=\kappa^2(1-u^2)=(u')^2\implies\kappa\sqrt{1-u^2}=\pm u'$$ $$\kappa\sqrt{1-u^2}=\pm \frac{du}{dt}\implies\pm\kappa dt=\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}$$ $$\implies\pm\int\kappa=\sin^{-1}(u)+c_1$$ $$\implies c_1\pm\int\kappa=\sin^{-1}(u)\implies u=\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)$$ $$\implies x'=\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)$$ $$\therefore x=\int\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt$$
इसी तरह के तर्क के साथ, इस प्रकार है
$$y=\int\cos(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt$$
इसलिए, पैरामीट्रिक समीकरण पाया जा सकता है (पारंपरिक रूप से स्वैपिंग $\sin$ तथा $\cos$) होने के लिए
$$\gamma(s)=\begin{pmatrix} x_0+\int_0^s\cos(\theta\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt \cr y_0+\int_0^s\sin(\theta\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt\end{pmatrix}$$
लो और निहारना, जैसा कि क्रिस्टोमाथ ने भविष्यवाणी की है: तीन स्थिरांक (अनुवाद के लिए दो और रोटेशन के लिए एक), और प्रतिबिंब (संकेत द्वारा) $\pm$)!