वर्दी गुरुत्वाकर्षण के तहत एक ऊर्ध्वाधर परिपत्र गति में सेंट्रीपैटल बल की दिशा
कठोर स्ट्रिंग द्वारा केंद्र से जुड़े एक बिंदु द्रव्यमान की ऊर्ध्वाधर परिपत्र गति पर विचार करें। यहाँ एक समान गुरुत्वाकर्षण$m\vec{g}$ कार्य करता है।
मैंने नीचे दिए गए चित्र में स्थिति का वर्णन किया है।
यहाँ अगर हम एक वेक्टर के अलावा करते हैं $\vec{T}$ तथा $m\vec{g}$तब हमें एक अजीब दिशा का केंद्रबिंदु बल मिलता है। यह केंद्र की ओर निर्देशित करने वाला है, यह नहीं है?
मैं आगे गुरुत्वाकर्षण को रेडियल और स्पर्शरेखा घटकों में विघटित कर दूंगा। निचे देखो।
तो उससे क्या होता है $mg \sin \theta$घटक? क्या यह परिपत्र होने से गति को परेशान नहीं करता है?
- नोट: अगर मैं नेट बल को केंद्र की ओर सीधा करने की कोशिश करता हूं तो मुझे जानबूझकर तनाव की दिशा को बदलना होगा, और यह मुझे बहुत अजीब लगता है क्योंकि हम किसी वस्तु को स्ट्रिंग द्वारा सीमित मान रहे हैं। इसलिए अगर हम इसे "प्राकृतिक" (केंद्र की ओर तनाव) रखते हैं, तो क्या हम वास्तव में कह सकते हैं कि वस्तु एक परिपत्र गति से गुजरती है?
- एक और सवाल: मैं समझता हूं कि इस स्थिति में, जैसा कि $mg \cos \theta$रेडियल बल के परिमाण को बदलना पड़ता है, और इस प्रकार वस्तु के वेग को बदलना पड़ता है। क्या हम इसे एक स्थानीय परिपत्र गति के रूप में सोच रहे हैं जहां वेग के लिए$\vec{v}(t_1)$ एक ख़ास समय पर $t=t_1$शत-प्रतिशत बल $\frac{m|\vec{v}(t_1)|^2}{r} \hat{r}$ केवल infinitesimally छोटे समय अंतराल के लिए मान्य है $[t, t + dt]$?
- ऊपर दिए गए दो प्रश्नों का सारांश देते हुए - हम विचार कर सकते हैं कि वस्तु शीर्ष पर या नीचे कब है। तब हमें बलों के घटकों के बारे में सोचने की ज़रूरत नहीं है क्योंकि वे सभी एक ही ऊर्ध्वाधर रेखा में झूठ बोलते हैं। क्या तब हम तर्क दे सकते हैं कि यह स्थानीय रूप से थोड़े समय के अंतराल के लिए एक गोलाकार गति है$[t, t + dt]$?
जवाब
परिपत्र गति में यह हमेशा ऐसा नहीं होता है $F_\text{net}=mv^2/r$। यह केवल एकसमान परिपत्र गति के लिए मान्य है। सामान्य रूप में$mv^2/r$उस शुद्ध बल के घटक के बराबर है जो वृत्त के केंद्र की ओर इंगित करता है। एक और घटक है जिस पर आपको विचार करना चाहिए: घटक परिपत्र पथ के लिए स्पर्शरेखा।
ध्रुवीय निर्देशांक में प्लेनर गति के लिए हम शुद्ध बल को दो घटकों में विभाजित करते हैं: सेंट्रीपीटल (या रेडियल) और स्पर्शरेखा:
$$\mathbf F_\text{net}=m\mathbf a=m\left(\ddot r-r\dot\theta^2\right)\,\hat r+m\left(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta\right)\,\hat\theta$$
कहाँ पे $r$ मूल से दूरी है, $\theta$ध्रुवीय कोण है, और एक डॉट परिवर्तन की समय दर का प्रतिनिधित्व करता है। परिपत्र गति के लिए,$r$ स्थिर है, इसलिए वृत्ताकार गति के लिए न्यूटन का दूसरा नियम कम हो जाता है
$$\mathbf F_\text{net}=m\mathbf a=-mr\dot\theta^2\,\hat r+mr\ddot\theta\,\hat\theta$$
तो आपकी वस्तु एक निरंतर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में मूल पर केंद्रित ऊर्ध्वाधर सर्कल में घूम रही है, हम दो घटकों को देख सकते हैं (ध्यान दें कि नकारात्मक मूल की ओर है) $$F_r=-mg\cos\theta-T=-mr\dot\theta^2=-\frac{mv^2}{r}$$ $$F_\theta=mg\sin\theta=mr\ddot\theta$$
$F_r$केवल वेग की दिशा बदलता है , क्योंकि यह बल घटक हमेशा वेग के लंबवत होता है, और$F_\theta$केवल वेग का परिमाण बदलता है , क्योंकि यह बल घटक हमेशा समानांतर / विरोधी-समानांतर होता है।
शुद्ध बल का परिमाण तब दिया जाता है $$F_\text{net}=\sqrt{F_r^2+F_\theta^2}=mr\sqrt{\dot\theta^4+\ddot\theta^2}$$
जो कम हो जाता है $mv^2/r$ एकसमान परिपत्र गति के लिए ($\ddot\theta=0$, तथा $\dot\theta=v/r=\text{constant}$) है।
उपरोक्त को आपकी चिंताओं को कम करना चाहिए जो हम केवल स्थानीय परिपत्र गति पर विचार कर रहे हैं। यह सिर्फ सर्कुलर मोशन है। अनावश्यक जटिलताओं में लाने की आवश्यकता नहीं है।
$mg\sin\theta$केन्द्रक बल में योगदान नहीं करता है, यह स्पर्शरेखा त्वरण है जो द्रव्यमान m को प्रदान किया जाता है। यह चढ़ाई के दौरान द्रव्यमान की गति में कमी और वंश के दौरान वृद्धि का कारण बनता है। यह एक समान परिपत्र गति का मामला नहीं है। इस जटिलता के कारण हम आम तौर पर इस उप-विषयक से संबंधित प्रश्नों को हल करने के लिए कार्य ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हैं। इसके अलावा सेंट्रिपेटल बल गुरुत्वाकर्षण बल और तनाव का वेक्टर जोड़ नहीं है, यह उन बलों का योग है जो सर्कल के केंद्र की ओर निर्देशित होते हैं। तो Centripetal बल तनाव + के बराबर है$mg\sin\theta$ जो है $mv^2/R$।