वर्गमूल का व्यापक विस्तार
मुझे निम्नलिखित दो भाग समस्या है:
(a) सिद्ध कीजिए कि $(z^2 - 1)^{-1}$ में एक विश्लेषणात्मक वर्गमूल है $\mathbb{C} - [-1,1]$
(बी) एक डोमेन पर एक (भाग) से एक विश्लेषणात्मक वर्ग जड़ के लौरेंट विस्तार का पता लगाएं $\{a: |z| > 1 \}$, पर केंद्रित है $z = 0$।
भाग (ए) के लिए, मैं ध्यान देता हूं कि मोबाइल का परिवर्तन $F(z) = \frac{z-i}{z+i}$ नक्शे $\mathbb{C} - [-1,1]$ पर $\mathbb{C}-(-\infty,0]$। जबसे$\mathbb{C} - (-\infty,0]$ बस जुड़ा हुआ है और $F$ नॉनज़रो है $\mathbb{C} - [-1,1]$, हम एक एकल मूल्यवान विश्लेषणात्मक शाखा को परिभाषित कर सकते हैं $\sqrt{F(z)}$ पर $\mathbb{C} - [-1,1]$। फिर, एक त्वरित संगणना द्वारा
$$G(z) = \frac{1}{(z+i)^2\sqrt{F(z)}}$$
का एक विश्लेषणात्मक वर्ग मूल है $(z^2 - 1)^{-1}$ में $\mathbb{C} - [-1,1]$।
हालांकि, मुझे नहीं पता कि भाग (बी) के बारे में कैसे जाना जाए। किसी भी सहायता की सराहना की जाएगी।
जवाब
भाग कर $(a)$ चूंकि $|z|>1$, अगर $z=re^{i\theta}: -\pi<\theta< \pi,$ हम लघुगणक की प्रमुख शाखा का उपयोग कर सकते हैं, और चुन सकते हैं $\sqrt {w^2}=w.$ फिर, के साथ $Z=1/z^2$ और यह देखते हुए कि द्विपद प्रमेय के लिए मान्य है $|z|>1,$ हम गणना करते हैं
$\sqrt {(z^2 - 1)^{-1}}=\sqrt {(z^2 - 1)^{-1}}=\frac{1}{z}\sqrt{\frac{1}{1-Z}}=\frac{1}{z}(1-Z)^{-1/2}=$
$\frac{1}{z}( 1 + Z/2 + 3 Z^2/8 + 5 Z^3/16 + 35 Z^4/128 + 63 Z^5/256 + 231 Z^6/1024 + 429 Z^7/2048 + 6435 Z^8/32768 + 12155 Z^9/65536 + 46189 Z^{10}/262144 + O(Z^{11}))$
अगर $\theta$ नकारात्मक वास्तविक अक्ष पर स्थित है, तो उसके अनुसार कट की गई शाखा चुनें और इसके लिए उपरोक्त गणना दोहराएं $0<\theta<2\pi$।
मुझे भी लगता है कि हम प्राप्त कर सकते हैं $(a)$प्राथमिक तरीकों से। हमारे पास परिभाषा है,
$\sqrt{(z^2 - 1)^{-1}}=e^{-\frac{1}{2}\log (z^2-1)}$। इस फ़ंक्शन में शाखा बिंदु हैं$1$ तथा $-1$ लेकिन नहीं $\infty$ इसलिए हम आरेख को लागू कर सकते हैं
स्थापना $z + 1 = r_1e^{i\theta_1}$ तथा $z -1 = r_2e^{i\theta_2}$ तथा $\pi<\theta_1,\theta_2<\pi$
और प्रत्यक्ष गणना द्वारा विश्लेषण साबित होता है। यह मामलों पर विचार करने के लिए नीचे आता है।