वस्तुतः छोटे रैंक के बड़े समूह (संबंधित 3-कई गुना)

Question

मैं एक कारण की तलाश कर रहा हूं कि 3-गुना समूह क्यों है $G$ वस्तुतः यही है $\mathbb{Z}\times F$, $F$या तो गैर-चक्रीय मुक्त या एक सतह समूह होने के नाते , दो जनरेटर पर एक प्रस्तुति स्वीकार नहीं करता है।

ये बंद 3-मैनिफोल्ड के मूलभूत समूह हैं $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ ज्यामिति (धन्यवाद @HJRW को इंगित करने के लिए कि ऊपर से स्ट्राइक-थ्रू मामला एक गैर-खाली सीमा से मेल खाता है), और यह पता चलता है कि अन्य सभी ज्यामिति रैंक दो के मूल समूह के साथ उदाहरण स्वीकार करते हैं, जिसमें यूक्लिडियन ज्यामिति का उल्लेखनीय आकर्षण है समूह वस्तुतः हैं $\mathbb{Z}^3$(और फाइबोनैचि कई गुना होने के दो उदाहरणों को रैंक करें)। इस प्रकार 3-कई गुना समूह लगभग उच्च रैंक समूहों के उदाहरण स्वीकार करते हैं, फिर भी वे स्वयं छोटे रैंक के होते हैं। बेशक यह सर्वविदित है कि दो जनरेटर पर एक स्वतंत्र समूह वस्तुतः उच्च श्रेणी का है।

हालांकि, Boileau और Zieschang द्वारा , प्रमेय 1.1, रैंक$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ मैनिफ़ॉल्ड्स बेस सतह की जीन पर निर्भर करता है और सीफ़र्ट फ़िब्रेशन के एकवचन तंतुओं की संख्या (और कम से कम 3 है), इसलिए वस्तुतः $\mathbb{Z}\times F$ समूह को कम से कम समान रैंक के लिए बाध्य करता है।

क्या कारण है कि यह उपसमूह नीचे से परिवेश समूह की रैंक को बांधता है, और कहता है, मुक्त समूह या अभिजन मुक्त $\mathbb{Z}^3$ऐसा न करें? मुझे खुशी होगी अगर यहां खेलने में ज्यामितीय 3-आयामी कारण है, लेकिन मेरे सामान्य समूह सिद्धांत को भी ताज़ा करने के लिए आभारी होंगे।

Answer 1

प्रश्न बोइलेउ और ज़ीसेचांग द्वारा पेपर में प्रमेय 1.1 की गलत व्याख्या से उपजा है। प्रमेय 1.1 में बहुत सारे मामलों को शामिल किया गया है, विशेष रूप से, यह 3 पूरी तरह से फाइबर और जीनस के आधार के साथ (पूरी तरह से उन्मुख) बंद Seifert पर लागू नहीं होता है। इनमें से कुछ बाहर के Seifert मैनिफ़ेस्ट्स रैंक के बारे में आपके दावे के प्रति काउंटर-उदाहरण प्रदान करते हैं।$\ge 3$।

उदाहरण के लिए, बाहरी को ही लें $N$ के $(p,q)$- टोरस नॉट जो नॉनट्रिविअल है न कि ट्रेफिल। इस गाँठ का जीनस है$$ g=\frac{(p-1)(q-1)}{2}\ge 2 $$(क्योंकि मैंने ट्रेफ़िल को बाहर कर दिया है जिसमें जीनस 1 है)। कई गुना$N$ सर्कल के ऊपर एक सतह बंडल है जिसका फाइबर $F$ जीनस की एक बार छिद्रित सतह है $g$। इस फिब्रेशन का मोनोड्रोम एक परिमित क्रम है (वास्तव में, आर्डर है$pq$) होमियोमॉर्फिज्म $h: F\to F$। इस प्रकार, यदि हम की सीमा को ढहते हैं$F$ इंगित करने के लिए, हम एक बंद सतह प्राप्त करते हैं $S$ जीनस का $g$ तथा $h$ एक परिमित आदेश homeomorphism के लिए परियोजना होगी $f: S\to S$। मैपिंग टोरस$M=M_f$ प्रकार का एक Seifert कई गुना है ${\mathbb H}^2\times {\mathbb R}$ की एक Dehn भरने के द्वारा सीमा $N$। सीफ़र्ट फ़िब्रेशन के आधार में तीन विलक्षण बिंदु होंगे और जीनस 0: एकवचन के दो फाइबर आते हैं$N$ और एक ठोस धड़ से आता है $\partial N$हमारे Dehn भरने के परिणाम के रूप में। (यह एक सामान्य तथ्य है कि हाइपरबोलिक सतह के परिमित क्रम होमोमोर्फिज्म की मैपिंग टोरस एक सीफ़र्ट कई प्रकार की होती है${\mathbb H}^2\times {\mathbb R}$।) समूह के बाद से $\pi_1(N)$ 2-जनरेट किया गया, भागफल समूह है $\pi_1(M)$ 2-जनरेटेड भी है।