विश्लेषणात्मक निरंतरता पर भ्रम।
होलोमोर्फिक फ़ंक्शन की विश्लेषणात्मक निरंतरता की परिभाषा इस प्रकार है:
लश्कर $f_{1}$ तथा $f_{2}$ दो डोमेन पर दो विश्लेषणात्मक कार्य (खुले और जुड़े) $\Omega_{1}$ तथा $\Omega_{2}$ ऐसा है कि $\Omega_{1}\cap\Omega_{2}\neq\varnothing$। अगर$f_{1}$ तथा $f_{2}$ पर सहमत $\Omega_{1}\cap \Omega_{2}$, हम कहते हैं $f_{2}$ की विश्लेषणात्मक निरंतरता है $f_{1}$ पर $\Omega_{2}$, और इसके विपरीत।
इसका एक छोटा संस्करण यह है:
अगर $f$ एक डोमेन पर विश्लेषणात्मक है $D\subset\mathbb{C}$ तथा $F$ एक बड़े डोमेन पर विश्लेषणात्मक है $E\subset\mathbb{C}$ ऐसा है कि $f=F$ पर $D\subset E,$ तब फिर $F$ की विश्लेषणात्मक निरंतरता है $f$ पर $E$।
मैंने जो पढ़ा है, उससे इस तरह की तकनीक हमें एक छोटे डोमेन में फ़ंक्शन को परिभाषित करने और इसे बड़े डोमेन के लिए विश्लेषणात्मक रूप से विस्तारित करने की अनुमति देती है। लेकिन मुझे समझ नहीं आता कि यह परिभाषा हमें ऐसा करने की अनुमति क्यों देती है।
मुझे क्या भ्रमित करता है कि परिभाषा केवल गारंटी देती है $f=F$ चौराहे पर $\Omega_{1}\cap\Omega_{2}$, तो शायद $f\neq F$ पर $\Omega_{2}$, फिर मुझे कैसे पता $f$ पर विश्लेषणात्मक है $\Omega_{2}\setminus\Omega_{1}$?
मैंने पहचान प्रमेय का उपयोग इस प्रकार करने की कोशिश की:
लश्कर $f$ तथा $g$ एक डोमेन पर दो होलोमोर्फिक फ़ंक्शन हों $D$ ऐसा है कि $f=g$ एक सबसेट पर $S\subset D$ उसके बाद एक सीमा बिंदु होता है $f=g$ कुल मिलाकर $D$।
लेकिन यह पिछड़ा हुआ लगता है। विश्लेषणात्मक निरंतरता की परिकल्पना द्वारा, हमारे पास केवल है$f=g$ पर $S$, तथा $g$ पर विश्लेषणात्मक है $D$, हम वास्तव में नहीं जानते कि क्या $f$ संपूर्ण पर विश्लेषणात्मक है $D$ (यह विश्लेषणात्मक निरंतरता का उद्देश्य है, सही? विस्तार करने के लिए? $f$ पूरी तरह से विश्लेषणात्मक $D$।)
क्या मैं इसे पछाड़ कर खुद को भ्रमित कर रहा हूँ ?? मुझे लगता है कि हमें कहना चाहिए था$f_{1}=f_{2}$ कुल मिलाकर $\Omega_{1}\cup\Omega_{2}$, लेकिन मुझे नहीं पता कि इसे कैसे साबित किया जाए।
संपादित 1: (कुछ स्पष्टीकरण, संभावित उत्तर और संदर्भ)
मुझे खेद है अगर मैं एक भ्रम (बुरा) सवाल पूछ रहा हूं। मेरा भ्रम यह है कि भले ही विश्लेषणात्मक निरंतरता मौजूद है, मुझे नहीं लगता कि इसका मतलब कुछ भी उपयोगी है। यह हमें केवल एक विश्लेषणात्मक कार्य देता है$F$ एक बड़े डोमेन पर $\Omega_{2}$ ऐसा है कि $F|_{\Omega_{1}}=f$ के लिये $\Omega_{1}\subset\Omega_{2}$। लेकिन इसके बारे में कुछ नहीं कहता$f$, $f$ अभी भी अंदर है $\Omega_{1}$। इसलिए मुझे समझ में नहीं आता है कि विश्लेषणात्मक निरंतरता किस डोमेन पर विस्तार कर सकती है$f$ विश्लेषणात्मक है।
हेमंत कुमार पाठक की पुस्तक "कॉम्प्लेक्स एनालिसिस एंड एप्लीकेशन" में विश्लेषणात्मक निरंतरता के बारे में एक अध्याय है।
जैसा कि जोस ने सुझाव दिया, यह कहने का कोई मतलब नहीं है $f=F$ पर $\Omega_{2}$, चूंकि $f$ चालू है $\Omega_{1}$।
पुस्तक बताती है कि यदि हमारे पास विश्लेषणात्मक जारी है $f_{1}$ से $\Omega_{1}$ जांच $\Omega_{2}$ के जरिए $\Omega_{1}\cap\Omega_{2}$, तो का कुल मूल्य $f_{1}$ में $\Omega_{1}$ तथा $f_{2}$ में $\Omega_{2}$ एकल फ़ंक्शन के रूप में माना जा सकता है $f(z)$ में विश्लेषणात्मक $D_{1}\cup D_{2}$ ऐसा है कि $$f(z)=\left\{ \begin{array}{ll} f_{1}(z), z\in D_{1}\\ f_{2}(z), z\in D_{2} \end{array} \right.$$
यह वास्तव में चीजों को स्पष्ट करता है। यह वैसा ही है जैसा हमने तब किया जब हम विलक्षणता को दूर करना चाहते हैं: यदि$f_{1}$ में एक हटाने योग्य विलक्षणता है $z_{0}$, तो हम वास्तव में विस्तार करते हैं $f_{1}$ सेवा मेरे $f$ परिभाषित करके $$f(z)=f_{1}(z), z\neq z_{0}\ \ \text{and}\ \ f(z_{0})=\lim_{z\rightarrow z_{0}}f_{1}(z).$$
इस प्रकार, हम वास्तव में विस्तार कर रहे हैं $f_{1}(z)$ सेवा मेरे $f(z)$को नहीं $f_{2}(z)$। हम पूर्ण की तरह$f_{1}(z)$ जांच $\Omega_{2}$ परिभाषित करके $f(z)$।
मुझे उम्मीद है कि मेरा स्पष्टीकरण अन्य लोगों की मदद कर सकता है जो जटिल विश्लेषण का अध्ययन करते हैं और विश्लेषणात्मक निरंतरता को भ्रामक पाते हैं।
किसी भी अधिक जोड़ने के लिए स्वतंत्र महसूस करो!
जवाब
वे प्रमेय विश्लेषणात्मक कार्यों के विस्तार के बारे में नहीं हैं , इस अर्थ में कि वे इस तरह के कार्य के विस्तार की संभावना के बारे में नहीं हैं। वे क्या कहते हैं कि आप एक एकल तरीके से एक विश्लेषणात्मक कार्य को बढ़ा सकते हैं। इसलिए, वे विस्तार की विशिष्टता के बारे में हैं , न कि उनके अस्तित्व के बारे में ।
अधिक सटीक होने के लिए, वे कहते हैं कि यदि $\Omega_1$ तथा $\Omega_2$ डोमेन हैं, के साथ $\Omega_1\subset\Omega_2$, और अगर $f\colon\Omega_1\longrightarrow\Bbb C$एक विश्लेषणात्मक कार्य है, फिर अधिकांश विश्लेषणात्मक कार्य होता है$F\colon\Omega_2\longrightarrow\Bbb C$ किसके लिए प्रतिबंध $\Omega_1$ है $f$। लेकिन यह पूरी तरह से संभव है कि कोई भी नहीं है! उदाहरण के लिए, यदि ऐसा है,$\Omega_1=D(0,1)$, $\Omega_2=\Bbb C$ तथा $f\colon\Omega_1\longrightarrow\Bbb C$ द्वारा परिभाषित किया गया है $f(z)=\frac1{z-2}$।