विश्लेषणात्मक पी-एडिक फ़ंक्शन जो एक बीजीय मूल्य लेते हैं
माना कि यह मौजूद है $r\in\mathbb R$ इस तरह के गैर स्थिर पी-एडिक फ़ंक्शन $f(z)=\sum_{n\ge0}a_nz^n$ ()$a_n\in\mathbb C_p$) पर परिभाषित किया गया है $\mathcal D=\{z\in\mathbb C_p\mid v_p(z)>r\}$। क्या यह मौजूद है$\alpha\in\overline{\mathbb Q}\cap f(\mathcal D)$? यदि उत्तर हाँ है, तो क्या यह मौजूद है$\alpha\in{\overline{\mathbb Q}}\cap f(\mathcal D\cap\mathbb Q_p)$?
जवाब
पहली के लिए, हाँ। शिफ्टिंग द्वारा व्यापकता की हानि के बिना हम मान सकते हैं$a_1 \neq 0$।
के लिये $\alpha\in \mathbb Q$, चलो $x_0=0$ तथा $x_{n+1} = x_n + \frac{\alpha-f(x)}{a_1}$। उस जाँच करने के लिए$x_n$ रूपांतरित करता है $n$ की जड़ तक अनंत जाता है $\alpha-f(x)$, यह जाँच करने के लिए पर्याप्त है $v_p ( \alpha - f(x_{n+1})) \geq v_p ( \alpha - f(x_n)) + 1$।
ऐसा करने के लिए, यह पर्याप्त है $v_p(x_n) \geq s$ तथा $v_p( x_{n+1}- x_n) \geq s$ कुछ के लिए $s \in \mathbb R$ ऐसा है कि $v_p (a_n)+n s> v_p (a_1) + s + 1$ सभी के लिए $n > 1$, तब का योगदान $a_2$ और इससे भी अधिक $\alpha - f(x_{n+1})$ के योगदान से हावी हो जाएगा $a_1$।
इस तरह का चयन करके यह सुनिश्चित करना आसान है $s < \frac{ v_p (a_n) - v_p(a_1) - 1}{ n-1}$ सभी के लिए $n>1$ (जाँच कर रहा है कि यह सीरीज़ नीचे दी गई है) और फिर चुनना $alpha$ ऐसा है कि $v_p ( \alpha- a_0) > a_1 + s$, ताकि $v_p(x_1-x_0)>s$ और इस तरह से $v_p(x_{n+1} -x_n) >s$ सभी के लिए $n$।
दूसरे के लिए, नहीं। बस ले लो$f(z) = z + b$ कहां है $b\notin \mathbb Q_p + \overline{\mathbb Q}$। जबसे$\mathbb C_p/\mathbb Q_p$ बेशुमार है, ऐसे $b$ मौजूद।