वो दिखाओ $\int\limits_{\mathbb{R}}gd\lambda=\int\limits_{X}g\circ fd\mu$

Aug 16 2020

मान लीजिए $(X,\mathcal{A},\mu)$ एक माप स्थान है और $f:X\to\mathbb{R}$औसत दर्जे का है। वो दिखाओ

  1. $\lambda(A)=\mu(f^{-1}(A))$ पर एक उपाय को परिभाषित करता है $\sigma$बोरेल उपसमुच्चय का बीजगणित $\mathbb{R}$
  2. वो दिखाओ $\int\limits_{\mathbb{R}}gd\lambda=\int\limits_{X}g\circ fd\mu$ प्रत्येक बोरेल फ़ंक्शन के लिए $g:\mathbb{R}\to [0,\infty]$

यहाँ मैं भाग 1 को सिद्ध करने में सक्षम था।
लेकिन मैं भाग 2 के साथ संघर्ष कर रहा हूँ।

मुझे पता है कि का अभिन्न $g$ सरल कार्यों के अभिन्न की सर्वोच्चता के साथ परिभाषित किया गया है $\phi\leq g$

इसलिए मैं पहले सरल कार्यों के लिए परिणाम को साबित करने की कोशिश कर रहा था:
इस प्रकार चलो$\phi(x)=\sum\limits_{k=1}^{k=n}a_k\chi_{E_k}(x)$ एक साधारण कार्य हो।

इसलिए $\int\phi d\lambda=\sum a_k\lambda(E_k)=\sum a_k\mu(f^{-1}(E_k))$
और उसके बाद मैं आगे बढ़ने का एक उचित तरीका नहीं देख सकता।

आपकी सहायता की सराहना

जवाब

2 ir7 Aug 16 2020 at 11:22

सरल कार्यों के लिए समानता टिप्पणियों में सिद्ध होती है। एक सामान्य गैर-नकारात्मक फ़ंक्शन के लिए हम नीचे दिखाए गए अनुसार आगे बढ़ सकते हैं।

किसी के लिए $g \geq 0$ वहाँ है एक गैर घटते अनुक्रम$(\alpha_n)$सरल कार्यों के लिए यह करने के लिए अभिसरण बिंदु। हम तो है:

$$(\alpha_n\circ f)(x) = \alpha_n(f (x)) \leq \alpha_{n+1}(f(x)) \rightarrow g(f(x)) $$

मोनोटोन अभिसरण प्रमेय द्वारा हम प्राप्त करते हैं:

$$ \int_{\mathbf{R}} \alpha_n d\lambda =\int_{X} \alpha_n\circ f d\mu \rightarrow \int_X g\circ f d\mu $$