यदि चार अक्षरों का अधिकतम उपयोग किया जा सकता है, तो चार अक्षरों वाले कितने शब्द बन सकते हैं $2$ बार?
आपके पास पाँच पत्र हैं $A, B, C, D$ तथा $E$। यदि चार अक्षरों का अधिकतम उपयोग किया जा सकता है, तो चार अक्षरों वाले कितने शब्द बन सकते हैं$2$बार? (शब्द में एक अक्षर दिखाई देता है$0, 1$ या $2$ बार।)
मैं प्रयास कर चुका हूं $5\cdot4\cdot3\cdot3$ और फिर सोचा कि पदों को व्यवस्थित किया जा सकता है $4\cdot3\cdot2\cdot1$। हालांकि, यह द्वारा विभाजित किया जाना चाहिए$2$ चूंकि $A~A~\_~\_$ तथा $A~A~\_~\_$वही परिणाम हैं। लेकिन मुझे जो जवाब मिला वह सही नहीं था। कुंजी के अनुसार सही उत्तर है$540$।
जवाब
साथ में $5$ पत्र, आप बना सकते हैं $5^4$ चार अक्षर का शब्द।
लेकिन इन शब्दों के बीच,
- एक अक्षर वाले हैं जो चार बार दोहराया जाता है (जाहिर है $5$ ऐसे शब्द);
- और तीन बार दोहराए गए पत्र के साथ शब्द हैं। वहां$5 \times 4 \times 4$ ऐसे शब्द (वास्तव में आपको ट्रिपल अक्षर चुनना है - $5$ संभावनाएं, अन्य पत्र - $4$ संभावनाएं शेष हैं, और अंत में अन्य पत्र की जगह - $4$ संभावनाओं)।
तो आपके द्वारा गिने जाने वाले शब्दों की कुल संख्या है $$5^4 - 5 - 5\times 4 \times 4 = 540$$
तीन मामले संभव हैं।
1. सभी अक्षर अलग हैं
पसंद ($A, B, C, D$)। चुनना$4$ से बाहर पत्र $5$ और उन्हें व्यवस्था देता है $\displaystyle{5\choose 4}\cdot 4!=120$ तरीके।
2. दो अलग और दो समान
(पसंद $A,B,C,C$)। चुनना$3$ से बाहर पत्र $5$ और फिर से उनमें से एक का चयन करना $3$ चौथे अक्षर के रूप में पत्र और उन्हें व्यवस्थित करना: $\displaystyle{5\choose 3}\cdot{3\choose 1}\cdot\frac{4!}{2!}=360$ तरीके।
3. केवल दो अलग-अलग अक्षर
(पसंद $A,A,C,C$)। चुनना$2$ से बाहर पत्र $5$ पत्र और व्यवस्था देता है $\displaystyle{5\choose 2}\cdot\frac{4!}{2!\cdot2!}=60$ तरीके।
इन सभी को जोड़ने से हमें प्राप्त होता है $540$।