यदि प्रत्येक निरंतर वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन पर परिभाषित किया गया है $K$ बाध्य है, तो $K$ कॉम्पैक्ट है
मैं वास्तविक विश्लेषण अनुभाग से निम्नलिखित प्रश्न को हल करने की कोशिश कर रहा हूं :
- लश्कर $K$ एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय हो $\mathbb R^n$ कहाँ पे $n > 1$। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही होना चाहिए?
(I) यदि $K$ कॉम्पैक्ट है, फिर प्रत्येक निरंतर वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन को परिभाषित किया गया है $K$ क्या घिरा हुआ है।
(II) यदि प्रत्येक निरंतर वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन पर परिभाषित किया गया है $K$ बाध्य है, तो $K$ कॉम्पैक्ट है।
(III) यदि $K$ कॉम्पैक्ट है, तो $K$ जुड़ा हुआ है।
(I) के लिए प्रमाण मानक है। मैं विरोधाभास द्वारा (द्वितीय) देखने की कोशिश कर रहा हूं।
क्या इन पंक्तियों के साथ (II) के लिए कोई प्रमाण देना संभव है:
मान लीजिए $K \subseteq \mathbb R^n$कॉम्पैक्ट नहीं है। फिर एक खुला कवर मौजूद है$\mathcal C$जिसका कोई परिमित उपकेंद्र नहीं है। परंतु$f: K \to \mathbb R$निरंतर है। (...) अंतर्विरोध।
जवाब
का एक सबसेट $\mathbb{R^n}$कॉम्पैक्ट है अगर और केवल अगर यह बंद है और बाध्य है, तो यह एक मानक परिणाम है। अब, मान लें कि प्रत्येक निरंतर वास्तविक मूल्यवान फ़ंक्शन को परिभाषित किया गया है$K$क्या घिरा हुआ है। विशेष रूप से, समारोह$f(x)=||x||$ पर बांधा गया है $K$, इसलिये $K$ एक बंधे हुए सेट है।
इसलिए हमें केवल साबित करना है $K$बंद हो गया है। ठीक है, मान लीजिए कि यह नहीं है। फिर कुछ बिंदु है$y\in\overline{K}\setminus K$। परिभाषित$f:K\to\mathbb{R}$ द्वारा $f(x)=\frac{1}{||x-y||}$। यह एक निरंतर कार्य है जो बाध्य नहीं है, एक विरोधाभास है।
मैं बस इतना ही कहना चाहूंगा कि यदि सीमा वास्तविक रूप से बंधी हुई मीट्रिक के साथ थी, $d(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$, तो बयान मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए सही नहीं है, भले ही $Dom(f)$ हेइन-बोरेल संपत्ति को संतुष्ट किया।