यह कैसे होता है कि सामान्य वितरण में प्रत्येक संभावना एक ही आवृत्ति के साथ होती है? [डुप्लीकेट]

Question

मैंने हाल ही में देखा है कि यदि आप सामान्य रूप से वितरित संख्याओं को 10000 उत्पन्न करते हैं और फिर प्रत्येक संख्या (pnorm) के साथ जुड़ी संभावना पाते हैं, तो 0 से 1 तक की प्रत्येक संभावना लगभग समान आवृत्ति के साथ होती है। यहाँ मैंने इसे R में कैसे किया:

var2 <- numeric(10000)
normnos <- rnorm(10000)
for (i in 1:10000) {
  var2[i] <- pnorm(normnos[i])
}
hist(var2)

यह कैसे संभव है? यदि सभी संभावनाओं को होने की समान संभावना है, तो परिणामी वितरण सामान्य के बजाय एक समान नहीं होगा? मैं वास्तव में भ्रमित हूं और एक स्पष्टीकरण की सराहना करूंगा।

Answer 1

1. pnorm नमूना संख्या की संभावना की गणना नहीं करता है - यह गणना करता है $P(X \leq x)$- जो संचयी वितरण कार्य है। नमूना संख्या की संभावना की गणना करने के लिए, आपको पीडीएफ का उपयोग करना होगा - इस मामले में सामान्य वितरण, अर्थात्।$p(x_i - \delta < X < x_i + \delta) = N(x_i | \mu = 0, \sigma = 1)$ ()$\delta$ बहुत छोटे से)।
2. आपके द्वारा लगाया गया हिस्टोग्राम cdf मानों का वितरण है, जो वितरण की परवाह किए बिना हमेशा समान होता है। यह "के रूप में जाना जाता है वर्दी की सार्वभौमिकता "
3. गणितीय रूप से, मान लीजिए $X$ पीडीएफ के साथ एक यादृच्छिक चर है $p_X(x)$ और cdf $F_X(x) = P(X \leq x)$। चलो$T$ यादृच्छिक चर हो $T = F_X(X)$ - जिन नमूनों का आपने हिस्टोग्राम में प्लॉट किया था। $T$ यादृच्छिक है क्योंकि $X$(आपके मामले में सामान्य चर) यादृच्छिक है। फिर,$$F_T(t) = P(T \leq t) = P(F_X(X) \leq t) = P(X \leq F_X^{-1}(t)) = F_X(F_X^{-1}(t)) = t$$
4. $F_T(t) = t$- यह एक समान वितरण का cdf है। तो, T की pdf एकसमान है - जिसे आपने प्लॉट किया है। ध्यान दें कि इसका उलटा$F_{X}(x)$ मौजूद है तो ही $F_X$ निरंतर और सख्ती से बढ़ रहा है।

उम्मीद है की यह मदद करेगा! :)