यह क्रम समान रूप से अभिसरण क्यों नहीं है?
इस समस्या में समझाया गया है कि $f_n(x)$बिंदुवार अभिसरण है, हालांकि समान रूप से अभिसरण नहीं है। अनौपचारिक रूप से अभिसरण क्यों नहीं है इसका स्पष्टीकरण भी दिया गया है। हालाँकि मैं इसे समझ नहीं सकता, जब मैं नीचे की प्रमेय का उपयोग करता हूं तो मुझे वह सीमा मिलती है$f_n - f = 0$ शायद कोई मुझे और अधिक विस्तार से जवाब दे सकता है कि अनुक्रम समान रूप से अभिसरण क्यों है?
जवाब
जबसे $\displaystyle(\forall n\in\Bbb N):\left|f_n\left(\frac1{2n}\right)\right|=\frac n4$, आपके पास $\displaystyle\sup_{x\in[0,1]}\left|f_n(x)\right|\geqslant\frac n4$। दूसरे शब्दों में,$\displaystyle\|f-f_n\|_\infty\geqslant\frac n4$और, विशेष रूप से, यह सच नहीं है$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\|f-f_n\|_\infty=0$। तो, अभिसरण एक समान नहीं है।
सबसे पहले, आपको बिंदुवार सीमा निर्धारित करनी होगी । लश्कर$x\in[0,1]$। के लिये$n>1/x$, $f_n(x)=0$, तो बिंदुवार सीमा है $0$।
जैसा कि स्पष्टीकरण से पता चलता है, हमारे पास है $\|f_n\|_\infty=n/4$। इस प्रकार,$\lim_{n\rightarrow\infty}\|f_n\|_\infty=\lim_{n\rightarrow\infty}n/4=\infty$ और आपके द्वारा उद्धृत प्रमेय का उपयोग करते हुए, सुपरमा डायवर्जिंग की सीमा के बराबर है $f_n$ समान रूप से परिवर्तित नहीं हो रहा है ।
किसी क्रम में एक मानक (या सामान्य मीट्रिक स्थान) में अनुक्रम के अभिसरण की परिभाषा से अनुक्रम (fn) f को अभिसरण नहीं कर सकता क्योंकि (fn - f)> = 1/4 सभी के लिए आदर्श (यहाँ यह sup- मानक है) एन