यह साबित करने के लिए कि क्या कई गुना स्पर्शरेखा एक सदिश स्थान है? [डुप्लीकेट]
मैं वर्तमान में स्पर्शरेखा वाले वैक्टरों की परिभाषा के साथ काम कर रहा हूं जो घटता वर्गों के समतुल्य वर्ग हैं। इसलिए$v =[\gamma]$ तथा $w=[\sigma]$ कहां है $v,w$वैक्टर हैं। मैं यह साबित करना चाहता हूं कि इस दो समतुल्य वर्ग का योग भी इसे वेक्टर अंतरिक्ष संरचना देने के लिए एक समता वर्ग है। हम योग को इस प्रकार परिभाषित करते हैं:
$v+w= [\phi^{-1} \circ (\phi \circ \gamma + \phi \circ \sigma)]$
कहां है $\phi$एक चार्ट है। मैं समझता हूं कि जब वे कई गुना हैं, तो घटता नहीं जोड़ा जा सकता है, इसीलिए हम पहले नक्शे में फिर वास्तविक स्थानों पर जाते हैं जहां यह प्रदर्शन किया जा सकता है। तो अब जब कि राशि को परिभाषित किया गया है, तो मैं कैसे साबित कर सकता हूं कि इस बिंदु पर एक और वर्ग है$p$ पर $M$। क्या यह सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त है कि नक्शा पास है$p$? स्केलर द्वारा गुणा करने के लिए एक ही सवाल जाता है। धन्यवाद
जवाब
अपनी पोस्ट को और अधिक ध्यान से पढ़ने के बाद, यहां आपकी गलती का एक-एक वाक्य सारांश है: आप (और स्केलर को) गुणा करने की कोशिश कर रहे हैं :$\Bbb{R}^n$बल्कि उनके वेग से। जैसा कि आपने देखा, घटता जोड़ आधार बिंदुओं के साथ चीजों को गड़बड़ कर देता है।
एक सेट के रूप में, हमारे पास है $T_pM$ चिकनी घटता के समतुल्य वर्गों का समूह है, $[\gamma]$, कहां है $\gamma$ कुछ खुले अंतराल युक्त पर परिभाषित किया गया है $0$ ऐसा है कि $\gamma(0)=p$। अब, किसी भी चार्ट के लिए$(U,\phi)$ बिंदु के बारे में $p$समारोह पर विचार करें $F_{\phi,p}:T_pM \to \Bbb{R}^n$ के रूप में परिभाषित \begin{align} F_{\phi,p}([\gamma]):= (\phi\circ \gamma)'(0). \end{align}यह फ़ंक्शन इस बात को अच्छी तरह से परिभाषित करता है कि कैसे समतुल्य संबंध को परिभाषित किया गया है। सहज अर्थ पर ध्यान दें:$\gamma$ कई गुना में मूल्यों के साथ एक वक्र है $M$, इसलिए यदि हम एक चार्ट का उपयोग करते हैं, तो हम एक संबंधित वक्र प्राप्त कर सकते हैं $\phi\circ \gamma$ Banach अंतरिक्ष में मानों के साथ (यानी एक मानक वेक्टर स्थान) $\Bbb{R}^n$, और हम जानते हैं कि कैलकुलस वेक्टर स्पेस की सेटिंग में कैसे काम करता है। तो, यह सब नक्शा$F_{\phi,p}$ क्या यह एक वक्र है $[\gamma]$ और इसे "वेग वेक्टर" के लिए मैप करता है $(\phi\circ \gamma)'(0)$। मुझे आशा है कि यह सहज है (अन्यथा, बस कुछ चित्र देखें कि प्रत्येक वस्तु कहाँ है)।
अब, यह सत्यापित करना भी आसान है $F_{\phi,p}$एक विशेषण फ़ंक्शन है; मैं इसे सत्यापित करने के लिए आपके पास छोड़ता हूं$G_{\phi,p}:\Bbb{R}^n\to T_pM$ के रूप में परिभाषित \begin{align} G_{\phi,p}(v):= [t\mapsto \phi^{-1}(\phi(p)+tv)] \end{align}उलटा कार्य है। शब्दों में, हम क्या कर रहे हैं हम एक वेक्टर ले रहे हैं$v\in\Bbb{R}^n$, और सीधी रेखा पर विचार करना $t\mapsto \phi(p)+tv$। यह बिंदु पर आधारित एक वक्र है$\phi(p)$, दिशा में $v$। जबसे$\phi$ एक होमोमोर्फिज्म है, यह निम्न प्रकार के छोटे मूल्यों के लिए है $t$, अपने पास $\phi(p)+tv\in \phi(U)=\text{domain}(\phi^{-1})$, इसलिए हम वक्र के समतुल्य वर्ग पर विचार कर सकते हैं $t\mapsto \phi^{-1}(\phi(p)+tv)$।
तो, यह सब अतिरिक्त संकेतन क्या है? खैर, हमारे पास एक विशेषण फ़ंक्शन है$F_{\phi,p}:T_pM\to \Bbb{R}^n$, और ज़ाहिर सी बात है कि, $\Bbb{R}^n$ एक वेक्टर स्पेस है, इसलिए बेसिक लीनियर बीजगणित द्वारा, हम वेक्टर स्पेस स्ट्रक्चर को "वापस" खींच सकते हैं $\Bbb{R}^n$ इतना बनाने के लिए $F_{\phi,p}$एक लीनियर आइसोमोर्फिज्म। स्पष्ट रूप से, मेरा मतलब यह है कि हम जोड़ और स्केलर गुणा को परिभाषित कर सकते हैं$+_{\phi}$ तथा $\cdot_{\phi}$ (मैंने सबस्क्रिप्ट डाल दिया क्योंकि सब कुछ चार्ट-निर्भर है अब तक) निम्नानुसार है: \begin{align} \begin{cases} [\gamma_1]+_{\phi} [\gamma_2]&:= F_{\phi,p}^{-1}\bigg(F_{\phi,p}([\gamma_1])+ F_{\phi,p}([\gamma_2])\bigg)\\ c\cdot_{\phi}[\gamma]&:= F_{\phi,p}^{-1}\bigg(c\cdot F_{\phi,p}([\gamma])\bigg) \end{cases} \end{align}
यदि आप सभी परिभाषाओं को खोलते हैं, तो \begin{align} c\cdot_{\phi}[\gamma_1]+_{\cdot}[\gamma_2]= [t\mapsto \phi^{-1}\left(\phi(p) + t(c\cdot (\phi\circ \gamma_1)'(0)+(\phi\circ \gamma_2)'(0))\right)] \end{align} उम्मीद है, यह विचार पर्याप्त रूप से स्पष्ट है: आपके पास एक आपत्ति है, इसलिए आप बस सब कुछ आगे बढ़ाते हैं, गणना करते हैं $\Bbb{R}^n$, तो सब कुछ वापस लाने के लिए $T_pM$, और यही कारण है कि इसके अलावा और स्केलर गुणन को परिभाषित किया गया है। मैं इसे आप पर छोड़ता हूं कि सभी सदिश स्थान स्वयंसिद्ध संतुष्ट हैं और है$F_{\phi,p}$ एक रैखिक समरूपतावाद आदि है।
ध्यान देने वाली एक अंतिम बात यह है कि अब तक इसके अतिरिक्त और स्केलर गुणन को एक विशेष चार्ट का उपयोग करके परिभाषित किया गया है $(U,\phi)$, लेकिन वास्तव में, यह सत्यापित करने के लिए एक सरल श्रृंखला नियम अभ्यास है कि यदि आपके पास एक अलग चार्ट है $(V,\psi)$, तब फिर $+_{\phi}=+_{\psi}$ तथा $\cdot_{\phi}=\cdot_{\psi}$, तो वेक्टर अंतरिक्ष संरचना पर $T_pM$ वास्तव में चार्ट-स्वतंत्र है, इसलिए हम इसे केवल निरूपित करते हैं $+$ तथा $\cdot$हमेशा की तरह। इसकी पुष्टि करने के लिए मैं इसे छोड़ता हूं, इसे सत्यापित करने के लिए श्रृंखला नियम आदि का उपयोग करें। यदि आपको कोई परेशानी है, तो मुझे बताएं, शायद मैं और अधिक विस्तार कर सकता हूं।