योग समाधान स्पष्टीकरण
मैं एक समस्या के समाधान के माध्यम से पढ़ रहा था और इसने कहा: $$\sum_{a_1 = 0}^\infty \sum_{a_2 = 0}^\infty \dotsb \sum_{a_7 = 0}^\infty \left( \frac{a_1}{3^{a_1 + a_2 + \dots + a_7}} + \frac{a_2}{3^{a_1 + a_2 + \dots + a_7}} + \dots + \frac{a_7}{3^{a_1 + a_2 + \dots + a_7}} \right) = 7 \sum_{a_1 = 0}^\infty \sum_{a_2 = 0}^\infty \dotsb \sum_{a_7 = 0}^\infty \frac{a_1}{3^{a_1 + a_2 + \dots + a_7}}.$$मेरे पास एक सच्चाई है कि क्यों यह सच है - शायद ईमानदार होने का अंतर्ज्ञान अधिक है, लेकिन मुझे पूरी तरह से समझ में नहीं आता है। क्या कोई स्पष्ट कर सकता है? अग्रिम में धन्यवाद।
जवाब
यह देखने के लिए कि दोहरी श्रृंखला पर विचार करने के लिए क्या चल रहा है। यह मानते हुए कि श्रृंखला पूरी तरह से अभिसरण है, हम प्राप्त करते हैं
\begin{align*} \color{blue}{\sum_{a_1=0}^{\infty}}\color{blue}{\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1+a_2}{3^{a_1+a_2}}} &=\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}+\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_2}{3^{a_1+a_2}}\\ &=\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}+\sum_{a_2=0}^{\infty}\sum_{a_1=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_2+a_1}}\tag{1}\\ &=\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}+\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}\tag{2}\\ &\,\,\color{blue}{=2\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}} \end{align*}
टिप्पणी:
(1) हम दाईं-सबसे दोहरी श्रृंखला में नाम बदलते हैं $a_1$ साथ में $a_2$ तथा $a_2$ साथ में $a_1$।
(2) में हम इसे पुनः व्यवस्थित करते हैं।