योनेदा लेम्मा के बारे में भ्रम
लश्कर $C$ एक श्रेणी और हो $F$ पर एक पूर्वसर्ग $C$। योनेदा लेम्मा कहती है कि प्राकृतिक परिवर्तन$C(-, A)\Rightarrow F$ के तत्वों के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं $F(A)$।
मेरे लिए, यह कथन अप्रमाणित लगता है। मुझे पता है कि अगर हम विशेष मामले पर विचार करते हैं$F=C(-, B)$, तब (योनेदा लेम्मा द्वारा) $C(-, -)$ पैदावार एक एम्बेडिंग (है, जो एक पूर्ण और वफादार functor) है $C$ पर presheaves की श्रेणी में $C$। एम्बेडिंग के बाद से यह काफी प्रेरित लगता है$C$ पर presheaves की श्रेणी में $C$ एक क्षेत्र एम्बेडिंग की तरह एक सा लगता है $k$ इसके बीजीय बंद होने में $\bar{k}$। इसके अलावा, presheaves की श्रेणी भी सार श्रेणी की तुलना में अधिक ठोस महसूस करती है$C$।
लेकिन सामान्य वक्तव्य में कोई दिलचस्पी क्यों है $F$जो भी हो यह एक प्राकृतिक कथन क्यों है? योनदा लेम्मा को ऊपर बताए अनुसार विचार करने का विचार कैसे मिलता है?
योनदा लेम्मा के बारे में मेरा एक और सवाल है। जैसा कि मैंने कहा, एक का एम्बेडिंग है$C$ जांच $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ (पर की श्रेणियों की श्रेणी $C$)। सहसंयोजक का विचार करके$C\to\mathbf{Sets}$ प्रिज़र्वेस के बजाय, योनेडा लेम्मा का सहसंयोजक संस्करण भी साबित हो सकता है, जो बताता है कि प्राकृतिक परिवर्तन $C(A, -)\Rightarrow F$ (के लिये $F\colon C\to \mathbf{Sets}$ किसी भी फ़नकार) के तत्वों के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं $F(A)$। इससे एक का एम्बेडिंग हो जाता है$C$ जांच $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$।
तो योग करने के लिए, एक एम्बेड कर सकते हैं $C$ दोनों में $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ तथा $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$। प्रश्न: कैसे करते हैं$[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ तथा $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$ एक दूसरे से संबंधित हैं?
मुझे स्थिति के बारे में थोड़ा अजीब लगता है: सबसे पहले, मुझे उम्मीद थी $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ तथा $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$बराबर होना। लेकिन एक सामान्य तथ्य यह है कि$$[C, D]^\text{op}\cong [C^\text{op}, D^\text{op}],$$ इस प्रकार $$[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}\cong[C^\text{op}, \mathbf{Sets}^\text{op}],$$ जो नहीं है $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$।
जवाब
इस प्रश्न का एक संभावित उत्तर यहां दिया गया है।
आइए दृष्टिकोण लेते हैं कि फंक्शंस श्रेणियों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
पहला, यह समझदार क्यों है?
ठीक है, याद रखें कि श्रेणियां एकरूपता (और फलस्वरूप समूहों के साथ-साथ) के सामान्यीकरण हैं, क्योंकि एक वस्तु श्रेणी एक मोनॉयड के समान है। अगर$M$ एक मोनॉयड है, तो हम एक श्रेणी को परिभाषित कर सकते हैं, $C$एक वस्तु के साथ, $*$, घर सेट $C(*,*)=M$, और इकाई और इकाई द्वारा दी गई संरचना और में गुणा $M$। इसके विपरीत, एक वस्तु श्रेणी दी गई है$C$, $C(*,*)$ गुणा के रूप में रचना के साथ एक मोनॉइड है, और ये निर्माण एक दूसरे के विपरीत हैं।
अब से, अगर $M$ एक मोनॉयड है, या $G$ एक समूह है, मैं लिखूंगा $BM$ या $BG$ इसी एक वस्तु श्रेणी के लिए।
अब, फंक्शनलर्स के बारे में क्या? खैर, क्या फंक्शंस हैं$[BG,k\newcommand\Vect{\text{-}\mathbf{Vect}}\Vect]$?
खैर, हमें एक वेक्टर स्थान चुनने की आवश्यकता है $V$ भेजने के लिए $*$ करने के लिए, और हम एक monoid homomorphism लेने की जरूरत है $G\to \newcommand\End{\operatorname{End}}\End V$। जबसे$G$ एक समूह है, यह एक समूह समरूपता के बराबर है $G\to \operatorname{GL}(V)$। दूसरे शब्दों में, से फंक्शनल$BG$ सेवा $k\Vect$ रेखीय समूह अभ्यावेदन के बिल्कुल समान हैं, और आप देख सकते हैं कि फंक्शंस के प्राकृतिक परिवर्तन बिल्कुल इसके अनुरूप हैं $G$- असमानता रेखीय नक्शे।
इसी तरह, जब हम प्रतिस्थापित करते हैं $k\Vect$ साथ में $\newcommand\Ab{\mathbf{Ab}}\Ab$, या $\newcommand\Set{\mathbf{Set}}\Set$, हमें मिला $G$-मॉड्यूल और $G$क्रमशः सेट करें।
विशेष रूप से, ये सभी बचे हैं $G$-आयात, एक फनकार के बाद से $F:BG\to \Set$ रचना को बनाए रखना चाहिए, इसलिए $F(gh)=F(g)F(h)$, और हम परिभाषित करते हैं $g\cdot x$ द्वारा $F(g)(x)$। इस प्रकार$(gh)\cdot x = g\cdot (h\cdot x))$।
एक कंट्रोवर्शियल फनकार $\newcommand\op{\text{op}}BG^\op\to \Set$ एक अधिकार देता है $G$- निष्क्रियता, अब से $F(gh)=F(h)F(g)$, इसलिए यदि हम परिभाषित करते हैं $x\cdot g = F(g)(x)$, तो हमारे पास हैं $$x\cdot (gh) =F(gh)(x) = F(h)F(g)x = F(h)(x\cdot g) = (x\cdot g)\cdot h.$$
इस प्रकार हमें सहसंयोजक के बारे में सोचना चाहिए $[C,\Set]$ के रूप में छोड़ दिया $C$में नीलाम करता है $\Set$, और हमें कंट्रावेरेंट फंक्शंस के बारे में सोचना चाहिए $[C^\op,\Set]$ सही के रूप में $C$में नीलाम करता है $\Set$।
योनेदा लेम्मा इन कॉन्सेप्ट
निम्नांकित अर्थों में अब एक ही चर में मुक्त वस्तुओं के प्रतिनिधि हैं।
योनेदा लेम्मा यह है कि हमारे पास एक प्राकृतिक समरूपता है $$ [C^\op,\Set](C(-,A),F)\simeq F(A)\simeq \Set(*,F(A)). $$
दूसरे शब्दों में, $C(-,A)$ "विस्मृत" फ़नकार के लिए बाएं किनारे से बहुत कुछ दिखता है, जो एक प्रीहाइफ़ भेजता है $F$ पर इसके मूल्यांकन के लिए $A$, $F(A)$, लेकिन एकल सेट पर मूल्यांकन किया गया $*$।
वास्तव में, हम बदल सकते हैं $C(-,A)$ यह देखते हुए कि एक पूर्ण बाएँ निकटवर्ती में $$\Set(S,F(A)) \simeq \prod_{s\in S} F(A) \simeq \prod_{s\in S}[C^\op,\Set](C(-,A),F) \simeq [C^\op,\Set](\coprod_{s\in S} C(-,A), F),$$ तथा $\coprod_{s\in S} C(-,A)\simeq S\times C(-,A)$।
इस प्रकार योनेदा लेम्मा को बताने का एक तरीका यह है $S\mapsto S\times C(-,A)$ पर मूल्यांकन से सटे छोड़ दिया है $A$functor (इस अर्थ में कि दो कथन एक लघु प्रमाण के माध्यम से समतुल्य हैं)। संयोग से, मूल्यांकन पर एक सही निर्णय भी है$A$functor, तर्क के लिए यहां देखें ।
इस से अधिक परिचित धारणाओं से संबंधित
इस दृष्टिकोण में ध्यान देने वाली पहली बात यह है कि अब हमारे पास "मुक्त" के बजाय "किसी वस्तु पर मुक्त" की धारणा है। यानी, मैं सोचता हूं$C(-,A)$ पर एक चर में मुक्त presheaf के रूप में $A$ (यह मानक शब्दावली नहीं है, बस मैं इसके बारे में कैसे सोचता हूं)।
अब हमें सावधान रहना चाहिए, एक मुफ्त वस्तु सिर्फ एक वस्तु नहीं है, यह एक वस्तु और एक आधार है । इस मामले में, हमारा आधार (वह तत्व जो स्वतंत्र रूप से प्रिज़िफ़ उत्पन्न करता है) पहचान तत्व है$1_A$।
इसके बारे में इस तरह से सोचते हुए, योनेदा लेम्मा का प्रमाण उम्मीद से अधिक सहज होना चाहिए। आखिर, योनेदा लेम्मा का प्रमाण निम्नलिखित है:
$C(-,A)$ द्वारा उत्पन्न होता है $1_A$, जबसे $f^*1_A=f$, किसी के लिए $f\in C(B,A)$, इसलिए प्राकृतिक परिवर्तन $C(-,A)$ सेवा $F$ विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है कि वे कहाँ भेजते हैं $1_A$। (कहने के अनुरूप$1_A$ फैला $C(-,A)$)। इसके अलावा, कोई भी विकल्प$\alpha\in F(A)$ कहाँ भेजना है $1_A$ मान्य है, क्योंकि हम "रैखिक रूप से विस्तार" करके एक प्राकृतिक परिवर्तन को परिभाषित कर सकते हैं $f=f^*1_A \mapsto f^*\alpha$ (यह कहने के अनुरूप है $1_A$ रैखिक रूप से स्वतंत्र है, या एक आधार बनाता है)।
योनेदा लेम्मा का सहसंयोजक संस्करण बिल्कुल समान विचार है, सिवाय इसके कि अब हम अपनी श्रेणी के बाएं प्रतिनिधित्व के साथ काम कर रहे हैं।
अधिक परिचित संदर्भों में योनेदा लेम्मा के उदाहरण
एक वस्तु श्रेणी पर विचार करें $BG$, तब योनेदा लेम्मा कहती है कि सही नियमित प्रतिनिधित्व $G$ स्वतंत्र अधिकार है $G$एक चर में -सेट (आधार तत्व की पहचान होने के साथ, $1_G$)। (में एक मुक्त$n$-विभाजन की असहमति संघ है $n$ सही नियमित प्रतिनिधित्व की प्रतियां।)
एम्बेडिंग स्टेटमेंट अब वह है $G$ में एम्बेड किया जा सकता है $\operatorname{Sym}(G)$ के जरिए $g\mapsto -\cdot g$।
यह समृद्ध संदर्भों में भी काम करता है। एक अंगूठी ठीक एबिलियन समूहों में समृद्ध एक वस्तु श्रेणी है, और इस संदर्भ में योनेदा लेम्मा का कहना है कि सही कार्रवाई$R$ अपने आप पर (अक्सर निरूपित $R_R$) स्वतंत्र अधिकार है $R$-एक चर में आधार, इकाई तत्व होने के साथ $1_R$। (में एक मुक्त$n$-यारीवॉल अब प्रत्यक्ष योग है $n$ की प्रतियां $R_R$)
यहाँ एम्बेडिंग स्टेटमेंट है $R$ के माध्यम से अपने अंतर्निहित एबेलियन समूह के एंडोमोर्फिज्म रिंग में अंतःस्थापित किया जा सकता है $r\mapsto (-\cdot r)$।