Aljabar matriks segitiga atas

Question

Membiarkan $k$ menjadi lapangan dan $R$ aljabar dari $3\times3$ matriks segitiga atas $(a_{ij})$ st $a_{11}=a_{22}=a_{33}$.

1. Temukan radikal Jacobson $J(R)$ dari $R$

Percobaan : Menggunakan karakterisasi$y\in J(R)\iff 1-xy\in U(R),\ \forall x\in R$ Saya menemukan itu $$J(R)=\left\{\begin{pmatrix} 0 \ a \ b\\ 0\ 0 \ c \\ 0\ 0 \ 0\end{pmatrix}:a,b,c\in k\right\}$$

1. Tunjukkan bahwa setiap dua sederhana $R-$modul isomorfik.

Percobaan : Sederhana kiri$R-$modul bertepatan dengan kiri sederhana $R/J(R)-$modul dan $R/J(R)=k$yang merupakan cincin Artinian sederhana. Karenanya semuanya sederhana$R-$modul isomorfik.

1. Membiarkan $M,N$ dua semisimple $R-$modul dengan $\dim_kM=\dim_kN<\infty$. Benarkah itu$M$ dan $N$ apakah isomorfik?

Percobaan : Ya. ini$M=V^m,\ N=V^n$ dimana $V$ adalah keunikan hingga isomorfisme sederhana $R-$modul. Begitu$n\dim_kV=\dim_kN=\dim_kM=m\dim_kV<\infty \Rightarrow m=n \Rightarrow M\cong N$.

1. Membiarkan $M,N$ menjadi dua $R-$modul dengan $\dim_kM=\dim_kN<\infty$. Benarkah itu$M$ dan $N$ apakah isomorfik?

Percobaan : Saya kira tidak sejak itu$R$ bukan aljabar sederhana ($\left\{\begin{pmatrix} 0 \ 0 \ b\\ 0\ 0 \ 0 \\ 0\ 0 \ 0\end{pmatrix}:b\in k\right\}$ adalah ideal) tetapi saya tidak dapat menemukan contoh tandingan.

1. Apakah pendekatan saya benar?

1. Bagaimana dengan $4$?

1. Bisakah Anda memberikan contoh umum di mana $R$ adalah $k-$aljabar dimensi berhingga (tidak sederhana) dan kesetaraan $M\cong N\iff \dim_kM=\dim_kN<\infty$ tidak tahan?

Terima kasih sebelumnya!

Answer 1

Apakah pendekatan saya benar?

Ya, pendekatan Anda ke 1-3 baik-baik saja.

Bagaimana dengan 4?

Untuk 4), Anda sudah tahu bahwa Anda tidak akan beruntung dengan modul semisimple, jadi Anda perlu menggunakan modul yang tidak semisimple. Mengapa tidak memulai dengan$R$ diri?

$R$ itu sendiri adalah a $4$-dimensi $k$ aljabar, jadi kami akan menggunakannya sebagai $M$.

Biarkan saja $N$ menjadi modul setengah sederhana dengan panjang $4$ (empat salinan dari modul sederhana yang unik.)

Jelas sekali $M\ncong N$, tetapi mereka memiliki hal yang sama $k$-dimensi.

Bisakah Anda memberikan contoh umum di mana $R$ adalah $k-$aljabar dimensi berhingga (tidak sederhana) dan kesetaraan $M\cong N\iff \dim_kM=\dim_kN<\infty$ tidak tahan?

Menjawab 4) di atas ya kan?