Apakah graf Euler harus terhubung?

Question

Jika sebuah graf adalah Eulerian (yaitu memiliki tur Eulerian), maka apakah kita langsung berasumsi untuk menghubungkannya?

Alasan saya bertanya adalah karena saya menemukan pertanyaan ini:

Grafik dan grafik garisnya yang mengandung sirkuit Euler

Dan solusinya tampaknya mengasumsikan bahwa graf tersebut terhubung, sebelum menggunakan hasil bahwa graf terhubung adalah Eulerian jika dan hanya jika setiap simpul memiliki derajat genap.

Answer 1

Sebuah grafik $G$ dengan rangkaian Euler tidak perlu dihubungkan, tetapi subgraf yang diinduksi oleh simpul-simpul yang ada pada rangkaian Euler harus merupakan komponen yang terhubung dari $G$, dan komponen lainnya harus merupakan simpul terisolasi. Dalam pertanyaan yang Anda tautkan, sebenarnya tidak masalah apakah$G$ terhubung: meskipun memiliki beberapa simpul terisolasi, grafik garisnya akan diturunkan sepenuhnya dari komponen dengan sirkuit Euler dan oleh karena itu akan terhubung.

Answer 2

Diketahui bahwa grafik asli memiliki sirkuit Euler. Jadi setiap tepi harus terhubung satu sama lain, terlepas dari apakah grafik itu sendiri terhubung. Dengan demikian grafik garis harus terhubung. Secara teknis, ini seharusnya ditunjukkan di postingan jawaban yang Anda tautkan, ya.